合理演绎,适度深化

徐达娴 冯伟

摘  要：演绎深化是命制试题常用的技术手段. 通过合理运用几何画板软件，对一个常见的基本图形进行演绎深化，命制出一道梯度明显且思维容量比较大的期中测试压轴题．

关键词：基本图形；
几何画板软件；
思维能力

基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点资助课题——条理与想象：“几何画板”提升数学思维能力的实践研究

（B-a/2020/02/38）；

江苏省中小学教学研究第十四期课题——基于信息技术的初中数学图形图像类试题编制研究（2021JY14-L48）.

作者简介：徐达娴（1973— ），女，高级教师，主要从事数学课堂教学与管理研究；

冯伟（1977— ），男，一级教师，主要从事几何画板软件和数学教学的融合研究.

命题能力是教师专业水平的体现. 高质量的命题活动既是促进有效教学的保障，也是学生进行深度学习、高效复习的重要支撑. 在命题活动中，演绎深化是一种重要的命题技术. 笔者曾在一次八年级上学期期中测试试题的命制过程中利用几何画板软件对一个常见的基本图形进行演绎深化，命制出一道具有明显区分度的压轴题. 现结合试题的命制过程谈谈自己的体会，以求专家指正.

一、几何画板软件辅助下的演绎深化策略

当我们在解题中遇到一个难题时，根据常规的解题经验，往往先把它转换成一个简单问题并解决它，并从中获取和解题相关的信息，进而找到解决原题的思路；
而命题常常开始于一个简单的问题，经过命题者的精心演绎和深化，使之成为一个较难的问题. 由此可见，命题的思路和解题是相反的. 命题时，命题者可以从一个基本图形（或基本定理、基本公式）出发，按照科学的逻辑推理，增加或减少相应的元素，由浅入深，将其逐步演绎深化成一个新的问题.

几何画板软件功能强大，其优势在于使用者不需要复杂的操作就可以绘制出精准的图形，并能在图形运动过程中保持其几何性质不变. 命题者可以充分利用几何画板软件的这一功能，在命题活动中将结构简单的基本图形逐步演绎成复杂且蕴含深度思维的问题的载体.

二、根据学情选取模型

1. 根据学情确定考查要点

本次考试的考查内容为苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册的轴对称图形、等腰（边）三角形、勾股定理和全等三角形. 根据学情和试卷整体要求，命题组决定最后一道题以考查等腰三角形知识为主，兼顾全等三角形和勾股定理的相关知识点.

2. 根据考点选取合适的基本图形作为命题素材

几何基本图形蕴含着深刻而丰富的性质，是命题的重要来源和基础. 由于此题以考查等腰三角形的相关内容为主，因此命题组选取了一个比较经典的基本图形——在一个等腰直角三角形斜边中点处放置一个直角. 如图1，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，点D为边AB的中点，点E为边AC上任意一点，连接ED，过点D作DF⊥DE交边BC于点F.

三、命题经过

1. 对基本图形的再次研究

笔者使用几何画板软件绘制了如图1所示的图形，在屏幕中用鼠标拖动点E使其在边AC上运动，可以发现以下两个结论：① CE = BF，AE = CF；
② 四边形CEDF的面积是△ABC面积的一半. 命题组在讨论时认为，由于这个图形在课堂中已经多次讲解过，多数学生对此十分熟悉，一看到图形就條件反射地想到连接CD（如图2），通过证明△CED ≌ △BFD得出相关结论，所以必须对基本图形进行演绎深化.

2. 对基本图形的演绎深化

对基本图形进行演绎深化以寻找灵感是试题命制的常规思路. 一般可以借助几何画板软件拖动基本图形中的相关点或线，以寻找隐藏其中的性质，但是在这个基本图形中，点E原本就是一个动点，在拖动过程中呈现的性质比较浅显易证. 由此笔者决定在不改变图1的图形结构的基础上增加新的元素来寻找命题灵感. 根据学情，对轴对称相关知识的考查也是本次考试的重点，因此笔者依据图1中的动点E移动时线段DE也会随之发生位置改变的特点，通过几何画板软件将线段DE所在直线作为对称轴，把点A反射到点G处，即点A和点G关于线段DE所在直线成轴对称，连接GE，GF，如图3所示.

笔者在几何画板软件中拖动点E，发现∠EGF的大小没有因为点E的移动而发生改变，利用几何画板软件的度量功能发现∠EGF = 90°，且角度大小不随点E的位置改变而变化. 经过深入研究，笔者发现只需要连接DG，证明△GDF ≌ △BDF，即可推导出∠EGF为直角. 由此得到初稿.

3. 形成初稿

初稿：小婷同学利用几何画板软件研究几何图形. 如图1，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，点D为边AB的中点，点E为边AC上任意一点，连接ED，过点D作DF⊥DE交BC边于点F.

（1）小婷同学发现线段DE和DF的长度是相等的. 你能证明这个结论吗？

（2）如图3，小婷同学以线段DE所在的直线为对称轴将点A反射到点G处，连接EG，FG，她发现∠EGF = 90°，试证明这个结论.

从知识层面看，初稿主要考查等腰三角形的相关知识，其中通过三角形全等证明角相等、线段相等也是目前解题的常规方法. 初稿入口较低，有一定的梯度.

4. 修改初稿

笔者将初稿交命题组审核，审题老师认为第（1）小题的命制是比较适当的，而第（2）小题如果作为压轴题的最后一问，显得过于“单薄”，思维容量不够，因此建议将第（2）小题保留，在前面两道小题的基础上设法命制第（3）小题. 笔者针对这些意见继续对图3进行深入研究，发现第（2）小题中要证明∠EGF = 90°，只需要△ABC为直角三角形即可，与“等腰”这一条件无关. 因此笔者将第（2）小题修改如下.

如图4，小婷同学又绘制了一个一般的Rt△ABC，以斜边AB的中点D为顶点作∠EDF，使∠EDF = 90°，分别交边AC，BC于点E，F，将线段DE所在直线作为对称轴，将点A反射到点G处，即点A和点G关于DE所在直线成轴对称，连接EG，FG，拖动点E，小婷同学通过度量发现∠EGF始终是直角，试证明这个结论.

5. 命制压轴小题

笔者回顾命题过程，再次审视已经完稿的第（1）和第（2）两道小题，发现图3中“四边形CEDF的面积是△ABC面积的一半”这个结论没有在题目中体现，并且如果连接EF，还可以证明△CEF ≌ △GFE，而要证明判定这两个三角形全等的条件（CE = GF，EG = CF），可以利用轴对称性和第（1）小题中的结论解决，且在第（2）小题中已经解决了∠C = ∠G = 90°. 笔者利用图3继续探究下去，推导得到“四边形DEGF的面积和四边形CEDF的面积相等，且都是△ABC面积的一半”.

根据以上得到的结论，笔者命制了第（3）小题：如图3，小婷同学发现，如果将第（2）小题中的一般Rt△ABC改成等腰直角三角形ABC，其他条件不变，无论如何拖动点E，四边形DEGF的面积始终等于△ABC面积的一半，試证明这个结论.

6. 确定终稿

对于第（3）小题，审题老师认为，引导学生通过利用第（1）小题和第（2）小题的结论去解决第（3）小题，大方向值得肯定，但是考虑到学生解题时也可以连接DG，证明△ADE和△BFD的面积之和与四边形DEGF的面积相等，而△ADE和△BFD的面积之和就是△ABC面积的一半来解决此题，这样关于△CEF的相关结论就用不到了，所以第（3）小题的思维容量还是略显不足，难度稍低. 另外，因为前两道小题都是要求证明论证，如果最后一题还是要求证明，学生的书写量过大，所以建议将第（3）小题改为一道直接填写答案的计算题.

根据上述建议，笔者决定直接给出四边形DEGF的面积和边CD的长度，要求学生计算四边形DEGF的周长，从而得到第（3）小题的最终稿：如图3，小婷同学发现，如果将第（2）小题中的一般Rt△ABC改成等腰直角三角形ABC，其他条件不变，发现无论如何拖动点E，四边形DEGF的面积始终等于4. 当CE = 1时，四边形DEGF的周长为______.（答案为[4+2√^-5].）

四、考试结果分析

笔者预测此题的难度系数是0.3，实际测试难度系数为0.28，与预测相近. 全校八年级19个班共有20名学生获得满分，应该说此题起到了较好的区分作用. 八年级数学备课组教师评价：此题起点低，入口宽，梯度明显，区分度良好；
题目图形简单，但思维容量大，想得多，算得少，充分考查了学生分析问题和解决问题的能力；
三道小题首尾呼应，学生可以将在解答前面两道小题的过程中得到的相关信息为解决最后一道小题提供支撑，做到了现学现用. 此题是一道意料之外又在情理之中的试题.

五、命题感悟

1. 对基本图形演绎深化是命制高质量试题的重要途径

基本图形的关系和性质是构建几何问题的基础，对基本图形进行演绎深化与建筑工人造房子类似，选定基本图形是打地基，而后合理选择材料，不断添砖加瓦，最后造就高楼. 以此题的命制为例，笔者选用了一个十分常见的基本图形（图1），这是整个命题过程的“地基”，对这个图形深入研究后进行演绎深化，增加了轴对称的元素，将点A反射到点G处，然后连接线段EG和FG，这样就使得图形蕴含的性质更加丰富，为推导出“∠EGF为直角”这一重要结论奠定了基础. 第（3）小题也是通过对基本图形（图3）的再探究、再解构后，发现了图形的面积、周长的相关结论后进行命制的.

2. 命题要关注学生思维演绎的特点

数学是思维的体操. 命制试题时，要将考查和提升学生的思维能力作为命题的重要目标. 因此，命题者要关注学生思维演绎的特点，在命题时不仅要设置难点，创造解题障碍，更要尽量预测学生解题思维演绎的大致方向，根据学生思维发展的特点架设桥梁，提供支撑. 此题的第（3）小题难度较大，思维链比较长，如果要求学生直接去解决，对学生来说是很困难的，但如果学生仔细研究第（1）小题和第（2）小题，可以发现第（3）小题恰好是将前面两道小题的相关元素“糅合”进了一个图形，解决第（1）小题和第（2）小题的过程恰恰可以为解决第（3）小题提供思路. 因此，笔者认为，在命制试题时，命题者要考虑到能力不同的多层次学生的思维特点，设置相应的解题支架，给予学生解题方向的指引.

3. 几何画板软件为命制高质量试题赋能

回顾整个命题过程，笔者发现几何画板软件除了可以用于绘制精确的图形，并验证命题者提出的相关探索和假设外，更是与整个命题活动深度融合. 在命制第（2）小题和第（3）小题时，笔者利用几何画板软件的动态演示且保持图形性质不变的功能，不断改变动点E的位置，发现图形动态变化过程中的不变量，从而生成自然而有效的数学问题，从而命制出此题. 因此，教师在命题过程中如果能科学有效地使用几何画板软件，可以促进思维火花的迸发. 几何画板软件是思维创新的助推器.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］冯伟，蒋凯. 例谈“几何画板”中“点的值”功能辅助试题命制［J］. 中学数学教学参考（中旬），2020（11）：66-68.

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