冯丹露 李进金,2 李招文 周银凤 杨桃丽
知识空间理论(Knowledge Space Theory, KST)[1-3]为开发基于计算机化的知识评估系统提供一个重要的数学心理框架.KST的核心概念是知识状态和知识结构.个体的知识状态K是在理想状态下能够正确回答的特定知识领域Q中的问题构成的集合.理想状态是指学生没有出现粗心致错和幸运蒙对的情况.知识结构(Q,K)是在总体中可以观察到的所有知识状态构成的集合.知识结构至少包含Ø和Q,通常直接使用K表示知识结构.
如何构建知识结构是KST的研究热点之一.最初,KST是在纯粹的行为视角下发展起来的.此时,获取知识结构的方法主要有基于问询专家的Query[4-6]和Ps-Query[6].这两种方法只考虑专家的判断,忽视不同个体可能具有不同的潜在认知能力.另外,这两种方法要求个体对问题的解答要么完全正确要么完全错误,最终只能给出个体的解答成绩,无法更深层次地评估个体的认知能力.
KST在引入技能的概念[7]后,超越单纯的行为解释,为构建知识结构提供认知解释的可能性.技能代表潜在的认知能力,每个技能都可视为一种方法、策略或能力,个体可以使用技能解决一组问题.在KST中,给定一个技能领域S,将技能与问题的特定关系表示成一个技能映射.Doignon[7]给出技能映射在析取模型和合取模型下诱导知识结构的方法.基于技能映射,一些学者将KST与形式概念分析(Formal Concept Analysis, FCA)[8]结合,给出获取知识结构的不同方法.
FCA[8]是进行知识表示和数据处理的重要工具.FCA通过对象和属性的特定关系,建立概念格,将知识可视化[9].Rusch等[10]提出知识背景的概念,给出由知识背景构建知识结构的方法,首次建立KST和FCA之间的联系,为研究KST提供一个新的途径.Spoto等[11]将KST运用到心理学中,借助FCA的表征形式,开发一种有效的适应性心理评估工具.李进金等[12]给出在形式背景中由知识基获取知识结构的方法.周银凤等[13]和Zhou等[14]基于形式背景的概念,建立技能函数和多尺度形式背景的关系,分别给出基于技能映射和技能函数构建知识结构的不同方法.上述方法借助概念获取的思想,但只能单纯获得知识结构,无法直接获得每个知识状态对应的技能掌握情况.另外,周银凤等[15]借助面向对象(属性)概念,进一步讨论技能函数下个体的表现水平和能力水平的一一对应条件,但如需建立唯一的对应关系,还需改进条件.
在获取知识结构的过程中,某些技能可能是冗余的.约简冗余技能,获得极小技能映射,既不影响生成原有的知识结构,还能更快地获取知识结构.为此,Doignon[7]提出极小技能映射的概念.Xu等[16]借助粗糙集属性约简的思想,获取极小技能集.Düntsch等[17]研究技能多映射的极小技能多映射.周银凤等[13]提出技能背景的概念,给出一种技能约简方法.但现有的技能约简方法只能对整个技能进行约简.
通过上述方法获取的知识结构是在理想状态下的所有知识状态构成的集合.在真实测试过程中,个体在解决某个问题时可能处于一种不理想的状态,即可能存在个体实际能解决某个问题,但由于粗心错误导致该问题没有解决,或存在个体实际没有能力解决某个问题,但由于个体的幸运猜测而解决该问题,导致得到的知识状态和知识结构不符合知识之间的逻辑性.因此,如何获得准确的知识状态和知识结构受到学者的关注[18-20].为了更准确地评估个体的行为表现层次与真实认知能力的一致性,将基本局部独立模型[18]引入KST中.
基本局部独立模型是对个体真实存在但未知的知识状态与个体在测评中的反应模式进行区分的概率模型.它将粗心错误和幸运猜测概率视为错误率,从概率的角度评估一个知识结构对数据的拟合性.目前,基本局部独立模型已应用于许多不同的环境中[18-20]但将基本局部独立模型应用于前级(For-ward-Graded)知识结构和后级(Backward-Graded)知识结构中会呈现不可识别的问题.事实上,若知识结构在某个问题处是前级的,说明知识结构对这个问题的幸运猜测恰好为0.若知识结构在某个问题处是后级的,说明知识结构对这个问题的粗心误差恰好为0.因此,近年来,前级(后级)知识结构得到学者们的特别关注[21-25].Spoto等[21]给出技能映射在析取模型和合取模型下诱导的知识结构是前级和后级的充分条件.Spoto等[25]在充分条件的基础上进一步给出必要条件,并给出技能映射在析取模型和合取模型下诱导的知识结构是后级和前级的充要条件.
上述对知识结构的获取、技能约简和前级(后级)知识结构的研究均是在技能映射下讨论的.对于技能映射,个体想要解决某个问题必须要完全掌握某些技能,否则将无法解决这个问题,但个体学习技能的过程是循序渐进的.由于个体的接受水平和认知能力是有差异的,在相同的学习环境中,不同个体能达到的技能熟练程度是不同的.因此,Sun等[26]提出模糊技能映射的概念,表示解决不同的问题需要的技能熟练程度不同,并给出模糊技能映射在析取模型、合取模型和能力模型下诱导知识结构,以及保持知识结构不变,进行技能约简的方法.模糊技能映射更能体现个体的认知水平差异和个性化能力,然而模糊技能映射诱导前级知识结构或后级知识结构的条件尚未得到研究.因此,讨论如何快速获取模糊技能映射下诱导的知识结构,以及给出快速判断模糊技能映射诱导的知识结构是前级和后级的条件具有重要意义.
受到FCA和KST之间联系的启发,本文将模糊概念格思想[27-33]引入基于模糊技能映射的KST中.首先,引入模糊技能背景的概念,建立模糊技能映射和模糊技能背景的对应关系.构造一对算子,生成模糊技能概念格.模糊技能概念格的外延集和内涵集分别对应模糊技能映射在合取模型下诱导的简单闭包空间和每个知识状态对应的最小技能熟练程度.因此,模糊概念格可用于评估个体的认知水平和指导进一步的学习.然后,提出技能层约简的概念,建立模糊技能背景与标记技能背景的特定关系,对技能层进行约简,并设计技能层约简的算法.另外,基于模糊技能背景,讨论简单闭包空间是前级和后级的充要条件,并给出相应的算法.最后,在5个数据集上的数值实验验证本文算法的有效性.
本节回顾模糊形式概念分析与模糊技能映射的一些基本概念和性质.
定义1[34]三元组(U,A,I)称为一个形式背景,其中U={x1,x2,…,xn}为对象集,A={a1,a2,…,am} 为属性集,I⊆U×A为U和A之间的二元关系.若(x,a)∈I,称对象x具有属性a;若(x,a)∉I,称对象x不具有属性a.
定义2[34]设(U,A,I)为形式背景,对X⊆U和B⊆A,分别定义运算:
X↓={a∈A|∀x∈X,(x,a)∈I},
B↑={x∈U|∀a∈B,(x,a)∈I}.
若
X=B↑,B=X↓,
称(X,B)为一个概念,其中,X为概念的外延,B为概念的内涵.L(U,A,I)表示(U,A,I)的全体概念.
定义3[34]设(U,A,I)为形式背景,对
∀(X1,B1)∈L(U,A,I),(X2,B2)∈L(U,A,I),
定义偏序关系:
(X1,B1)≤(X2,B2)⟺X1⊆X2⟺B2⊆B1.
另外,在L(U,A,I)上定义
(X1,B1)∨(X2,B2)=((X1∪X2)↓↑,B1∩B2),
(X1,B1)∧(X2,B2)=(X1∩X2,(B1∪B2)↑↓),
则(L(U,A,I),∨,∧)为完备格,称L(U,A,I)为(U,A,I)的概念格.
设U为一个有限非空集,P(U)表示U的所有子集构成的集合,F(U)表示U的所有模糊子集构成的集合.
定义4[35]设P、Q为两个有序集,给定映射
φ∶P→Q,ψ∶Q→P.
若映射对(φ,ψ)满足
φ(p)≤q⟺p≥ψ(q),
称(φ,ψ)为P和Q之间的反序伽罗瓦连接.
定义5[36]设P、Q为两个有序集,给定映射
φ∶P→Q,ψ∶Q→P.
若映射对(φ,ψ)满足
φ(p)≤q⟺p≤ψ(q),
称(φ,ψ)为P和Q之间的单调伽罗瓦连接.
h∶P(U)→F(A),k∶F(A)→P(U)
如下:
技能可以反映个体潜在的认知能力,个体掌握一个技能的过程是循序渐进的.因此,不同个体在同一时刻对技能的掌握程度可能是不同的.为了更好地评估个体对技能的掌握情况,Sun等[26]提出模糊技能映射的概念,对不同问题赋予不同的技能熟练程度,个体掌握技能的程度决定其能否解决相应的问题.
设S为非空技能集,
定义7[26]三元组(Q,S,τ)称为一个模糊技能映射,其中Q={q1,q2,…,qn}为非空问题集,S={s1,s2,…,sm}为非空技能集,τ为从Q到F(S)Ø的映射.对q∈Q,记τq=τ(q)表示分配给问题q的所有模糊技能子集.τq(s)≠0表示解决问题q至少需要掌握技能s的程度.若τq(s)=0,表示问题q的求解与技能s无关.
合取模型表示个体至少需要达到解决问题q所需的每个技能的最小技能熟练程度.Sun等[26]将合取模型下诱导相同知识状态的所有模糊技能集视为等价的,进而对F(S)内的模糊技能集进行分类.因此,模糊技能映射(Q,S,τ)在合取模型下由F(S)内所有模糊技能集的等价类诱导的知识状态构成的集族K是一个知识结构.
引理1[26]设(Q,S,τ)为模糊技能映射,K为(Q,S,τ)在合取模型下诱导的知识结构,则K是一个简单闭包空间.
定义9[26]设(Q,K)为简单闭包空间.若存在一个子集族K′⊆K,使得对∀K∈K,都存在一个子集族A⊆K′,使得K=∩A成立,则称K′为K的交式生成组.
交式生成组是能交成简单闭包空间的极小知识状态构成的集族.若求得极小交式生成组,则可求得简单闭包空间.
在模糊形式背景中,对象与属性之间存在模糊二元关系,而模糊技能映射建立了解决问题与所需掌握技能程度的关系,故可从模糊形式背景的角度思考与模糊技能映射相关的一些问题.
显然有
即模糊技能背景与模糊技能映射具有一一对应的关系.故本文将模糊技能映射诱导的知识结构统一称为模糊技能背景诱导的知识结构.
技能可以反映个体不可观测的认知能力,不同个体的潜在认知能力是不同的.KST观察个体对问题的解决情况,评估个体潜在的认知能力水平,进而指导个体下一步的学习.因此,获得个体的知识状态与对应的技能掌握情况对评估个体知识和指导下一步的技能学习具有重要意义.
Sun等[26]给出模糊技能映射在合取模型下诱导简单闭包空间的方法,但只能获得知识状态,不能同时获得该知识状态对应的技能掌握情况.而通过概念格,可将对象集和属性集的某些特定关系通过概念的内涵和外延进行反映.基于该思想,本文构造一对算子,通过其对应的概念反映知识状态和技能掌握情况的关系,直接得到技能评估和学习路径图.考虑到模糊技能映射在合取模型下诱导的知识结构的特点,基于模糊技能背景构造如下2个算子.
f∶P(Q)→ F(S),g∶F(S)→P(Q)
如下:
因此定义
反之,假设个体解决的问题集为B,则个体至少已达到解决B中所有问题所需的最小技能熟练程度.因此定义
另外,F(S)上的运算定义如下[37]:
根据定义的映射f∘g,可得如下性质1.
B1⊆B2⟹f(B1)⊆f(B2);
因此,对∀s∈S,有
同理可证
B1⊆B2⟹f(B1)⊆f(B2).
故对∀s∈S,有
从而
此外,因为对∀q∈B,s∈S,有
故q∈g∘f(B),从而
B⊆g∘f(B).
又因为
B⊆g∘f(B),
又因为
再证4).由2)有
B⊆g∘f(B),
又由1)可得
f(B)⊆f∘g∘f(B).
因为
故
f∘g∘f(B)⊆f(B).
从而
f∘g∘f(B)=f(B).
同理可证
最后证5).对
满足对∀i∈J,s∈S,有
于是对∀s∈S,有
成立,故
从而
反之,对
满足对∀s∈S,有
于是对∀i∈J,s∈S,有
成立,故
从而
综上可得
下证
由
可证.
证毕
根据定义5,性质1中3)说明映射对(f,g)形成(P(Q),⊆)和(F(S),⊆)之间的单调伽罗瓦连接.根据文献[38],假设(f,g)形成集合X和Y之间的单调伽罗瓦连接.对映射对(h,k),若对∀A∈2X,B∈2Y,有
h(A)=Yf(A),k(B)=g(YB)
成立,则(h,k)是一个反序伽罗瓦连接,即通过该过程可建立反序伽罗瓦连接和单调伽罗瓦连接的双射.显然,本文定义的映射f∘g与定义6定义的映射h∘k不符合这种双射关系.
定义偏序关系:
有
证明由性质1中4)、5),有
{(g∘f(q),f(q))|q∈Q}
中的某些模糊技能概念的上确界表示.
证明对
满足存在i,使得对∀s∈S,有
成立.因此,对∀s∈S,有
故
从而
证毕
成立,则
当且仅当
证明先证充分性.转证
显然只需再证
由性质1中4)、5),有
又因为
所以
从而,有
再证必要性.由推论2,只需再证
对
满足对∀s∈S,有
成立,又由性质1中4),有
f∘g∘f(B)=f(B),
故
所以对∀s∈S,有
另外,由性质1中5),对∀s∈S,显然有
故
又因为
所以
即
故
从而
证毕
成立.由
可得对∀q∈B,s∈S,有
综上,有
证毕
注意到F(S)中的模糊集是无限的,但在KST中,模糊技能映射是给定的,故在本文中,基于模糊技能映射限制F(S).对s∈S,记
对
例1设
Q={q1,q2,q3,q4,q5},S={s1,s2,s3,s4,s5},
给定模糊技能映射(Q,S,τ),其中
图1 模糊技能概念L格
表1 模糊技能背景
{Ø,{q2},{q4},{q3,q4},{q4,q5},{q1,q4,q5},
{q2,q4,q5},{q3,q4,q5},{q1,q2,q4,q5},
{q1,q3,q4,q5},{q2,q3,q4,q5},Q}.
念集T
输出模糊技能概念集T
step 1 令P=Ø,T=Ø.
step 2 对∀q∈Q,计算f(q).
step 4 对∀X′∈P,计算g(X′),获得
step 5 输出模糊技能概念集T.
在算法1中,step 2、step 3的时间复杂度最大为O(|2Q|),step 4的时间复杂度最大为O(|P||S|),故算法1的时间复杂度最大为
O(|2Q|+(|P||S|)).
在KST中,技能约简是在保持知识结构不变的前提下,删除冗余技能.技能约简能更简洁地表示问题与技能之间的关系,从而有效提高生成知识结构的效率.Sun等[26]给出模糊技能映射下的技能约简的方法,但在模糊技能映射的背景下,不一定需要删除整个技能才能保持生成的知识结构不变.因此,本文提出技能层约简的概念,拓展KST的技能约简概念,减少生成简单必包空间的时间.
为技能s在Q中的技能层集.x∈W(s)称为技能s的一个技能层.
1)存在q∈Q,s∈S′,有
成立,
2)∀q∈Q,s∈S′,有
成立,
若对q∈Q,s∈S′,有
成立,则称x为技能s的可约简技能层.
显然,对于任意技能s∈S的最小技能层∧W(s),已经不存在小于它的技能层,故任意技能s∈S的最小技能层∧W(s)都不是可约简技能层.另外,对每个技能s∈S,若至少存在一个x∈W(s)且x≠∧W(s),使得x不是技能s的可约简技能层,则有S′=S.
称为标记技能集,∀sx∈SX称为一个标记技能,I⊆Q×SX定义为:对∀q∈Q,s∈S,x∈W(s),有
定义17建立模糊技能背景和标记技能背景的转换关系,显然有如下推论.
对q∈Q,s∈S,若对∀x∈W(s),有(q,sx)∈I成立,则
对于标记技能背景(Q,SX,I),将每个标记技能sx∈SX视为形式背景的一个属性,通过定义2的映射↑∘↓确定的概念格称为标记技能概念格,记为L(Q,SX,I).另外,记LQ(Q,SX,I)表示L(Q,SX,I)的所有外延构成的集族.
证明先证
设存在B⊆Q,使得B∈LQ(Q,SX,I)成立,则存在T⊆SX,使B=T↑成立.对∀s∈S,
T(s)={x∈W(s)|sx∈T}.
另外,对∀s∈S,令
下证
设q∈B=T↑,则对∀sx∈T,有(q,sx)∈I,等价于对∀s∈S和x∈T(s),有
等价于对∀s∈S,有
故
从而
再证
令
下证B=T↑.对
满足对∀s∈S,有
等价于对∀s∈S,x∈T(s),有
等价于对∀sx∈T,有(q,sx)∈I,故
从而B=T↑.
证毕
则其通过对应关系
确定的概念格同构.
证明由定理3,映射f∘g和↑∘↓在2Q上得到的概念格同构,则其通过对应关系
确定的概念格同构.只需再证
先证
对
因为
故对∀q∈B,s∈S,x∈W(s),有
又因为
从而sx∈B↓.
再证
假设存在s∈S,x∈W(s),使
又因为
证毕
由于对∀s∈S,当x=∨W(s)时,对∀q∈Q,都有
恒成立,即对∀q∈Q,s∈S,都有
(q,s∨W(s))∈I⟺I(q,s∨W(s))=1
恒成立.根据↑∘↓的定义,∀s∈S,s∨W(s)都会出现在标记技能概念格L(Q,SX,I)的每个概念的内涵中.因此,为了简便表示,在标记技能概念格L(Q,SX,I)中,除外延{Ø}对应的内涵以外,其它所有外延对应的内涵中的s∨W(s),∀s∈S都忽略不写.
图2 标记技能概念格L(Q,SX,I)
表2 标记技能背景(Q,SX,I)
sx*=(sx)*={q∈Q|(q,sx)∈I}
证明对于标记技能背景(Q,SX,I),因为
LQ(Q,SX,I)={T↑|∀T⊆SX,T=T↑↓},
且对于任意一个标记技能集T⊆SX,都有
故{sx*|sx∈SX}为LQ(Q,SX,I)的一个交式生成组.
证毕
保持LQ(Q,SX,I)不变的标记技能约简等价于保持LQ(Q,SX,I)的交式生成组不变的标记技能约简.对∀s∈S,
若x=∨W(s),因为对于∀s∈S,q∈Q,都有
(q,s∨W(s))∈I,
即对于∀s∈S,有
s∨W(s)*=Q
SX={sx|s∈S,x∈W(s)且x≠∨W(s)}.
另外,对sx∈SX,若存在t∈S{s},y∈W(t),使得sx*=ty*,说明标记技能sx和ty提供诱导简单闭包空间LQ(Q,SX,I)的作用是一样的.因此,对sx∈SX,记
[sx]={ty∈SX|sx*=ty*}
表示标记技能sx的等价类.
下面将极小标记技能背景转化成一个新的模糊技能背景,使其对应生成概念格同构.
记
S1={s∈S|X1(s)≠Ø},
满足
x′>∨{x∈X1(s)|(q,sx)∉I1},
且不存在x″∈W(s),使得
x′>x″>∨{x∈X1(s)|(q,sx)∉I1}
成立.另外,对q∈Q,s∈S,若对∀x∈X1(s),有(q,sx)∈I1成立,则
则
1)存在q∈Q,s∈S1,有
成立;
2)∀q∈Q,s∈S1,有
成立.
P(s)={x1,x2,…xn} ⊆X(s).
假设
sP={sx|x∈P(s)}
为s对应的所有可约简标记技能构成的集合,若
P(s)={x1,x2,…xn}=X(s),
即n=|X(s)|,则s∉S1.另外,假设对∀s′∈S1{s},都有|P(s′)|=0,则由定义19,显然对∀q∈Q,有
由
显然不存在对∀s′∈S1{s},都满足n=|X(s′)|的情形.因此,只需再讨论
P(s)={x1,x2,…,xn}⊂X(s), 1≤n<|X(s)|
的情形.下证对该技能s,满足对∀q∈Q,有
令
Y=(X(s)P(s))∪{∨W(s)},
显然有1≤|Y|<|X(s)|.令
则对∀q∈M,x∈X(s),有(q,sx)∈I.因此,对∀q∈M,y∈Y,有(q,sy)∈I1,则由定义19,对∀q∈M,有
成立.从而,对∀q∈M,有
将∀xi∈X(s),i=1,2,…,|X(s)|,从小到大排序,假设
x1<… 成立.对∀q∈Q{M},存在xi∈X(s),i∈{1,2,…,|X(s)|},有(q,sxi)∉I,且∀j=i+1,i+2,…,|W(s)|,有(q,sxj)∈I.由定义17的转换关系,对∀q∈Q{M},有 成立.假设sxi为一个可约简标记技能,且 xi=∧X(s), 则由定义19,对∀q∈Q{M},有 从而,对∀q∈Q{M},有 假设sxi为一个可约简标记技能,且 xi≠∧X(s), 记 则由定义19,对∀q∈Q{M},有 从而,对∀q∈Q{M},有 综上,对该技能s,存在q∈Q,有 且对∀q∈Q,有 又因为对∀s″∈S1{s},有上述类似结论成立,故1)和2)成立. 证毕 由定理5和定义15,显然有如下推论. 对∀xi∈W(s),i=1,2,…,m,1≤m≤|W(s)|,假设 x1<… 成立.若sxu(xu≠xm)为一个可约简标记技能,则xv为s的一个可约简技能层. 证明先证充分性.假设(q,sx)∉I1,由定义19,有 证毕 证明先证 T(s)={x∈X1(s)|sx∈T}. 另外,对∀s∈S1,令 下证 由定理6,对∀q∈Q,s∈S1,满足对∀sx∈T,有(q,sx)∈I1,等价于对∀x∈T(s),有 等价于 故 {q∈Q|∀sx∈T,(q,sx)∈I1}= T↑=B, 从而 再证 成立.对∀s∈S1,存在T(s)⊆X1(s),满足 令 等价于对∀x∈T(s),有 等价于对sx∈T,有(q,sx)∈I1,故 从而 证毕 证明由定理5,只需再证 由定理3有 由定义18有 又由定理7,有 故 即 证毕 若对s∈S,满足对∀x∈X(s),sx都是可约简标记技能,则s为一个可约简技能. 证明对s∈S,满足对∀x∈X(s),都有sx可约简标记技能,则s∉S1,故s∈S{S1}为一个可约简技能. 证毕 step 1 由 得到标记技能背景(Q,SX,I). step 2 对∀sx∈SX,计算 {sx*|sx∈SX},A={[sx]|sx∈SX}. step 3 在A中的每个元素[sx]中各取出一个代表元,组成一个新的标记技能集SX′. step 4 从{sx*|sx∈SX}找出{sx*|sx∈SX′},并计算 B= {[sx]|∀sx∈SX′,|[sx]|>1}. step 5 令C=Ø,E=Ø,F=Ø,R=Ø. step 6 将{sx*|sx∈SX′}的sx*按照|sx*|从小到大排序,若|sx*|相等,则随机排序. step 7 对∀sx∈SX′,若找到一个 成立,则C←C∪{sx}. step 8 令D=SX′C.对∀sx∈D,若[sx]∈B,则E←E∪[sx],否则F←F∪{sx}. step 9 对E中的每个元素各取一个代表元进行组合,所有可能的组合构成一个集合族G. step 10 对E′∈G,令 step 13 遍历G中元素,重复step 10～step 12,可获得所有的极小技能层模糊技能背景及其对应的可约简技能层和可约简技能. 对于算法2,step 2～step 4的时间复杂度最大为O(|SX|),step 6～step 13的时间复杂度最大为O(|SX||G|),故算法2的时间复杂度最大为O(|SX||G|). SX={sx|∀s∈S,x∈W(s)且x≠∨W(s)}. 1)由 [sx]={ty∈SX|sx*=ty*}, 可得 因此,标记技能的所有等价类构成的集合如下所示: 2)从A中每个元素中任取一个代表元,组成一个新的标记技能集SX′.假设 3)由于 故 4)由于 故 为SX的可约简标记技能集. 表3 极小标记技能背景 表4 极小标记技能背景 表5 极小技能层模糊技能背景 表6 极小技能层模糊技能背景 第2节通过模糊技能概念格获得简单闭包空间,第3节经过技能层约简提高获取简单闭包空间的效率,但将基本局部独立模型应用于前级简单闭包空间和后级简单闭包空间将呈现出不可识别的问题,导致无法评估个体的行为表现层次与真实认知能力的一致性.因此,为了避免出现不可识别的问题,下面给出判断模糊技能映射诱导前级(后级)简单闭包空间的充要条件.在充要条件的前提下,只需判定模糊技能背景满足某些条件,就可以确定诱导的简单闭包空间在某些问题中是否是前级的或后级的. 2)对∀K⊆Q{q1,p},满足对∀s∈S,若 则 证明先证充分性.假设存在p∈Q{q1},对∀s∈S,有 成立,则存在 使得 成立.另外,因为g(Ø)=Ø∈K,故 因此,有 Ø∪{q1}∉K. 从而K在q1处不是前级的.故条件1)是必要的.对K⊆Q{q1,p},假设存在p∈Q{q1},使得存在 满足对∀s∈S,有 且对 存在s∈S,有 成立.另外,假设K⊆Q{q1,p}非空,且存在s∈S,有 K∪{q1} ∉K. 从而K在q1处不是前级的.故条件2)是必要的. 再证必要性.假设K在q1∈Q处不是前级的,则存在K∈K且q1∉K,使得 K∪{q1}∉K 成立.因此,存在 有 且存在s∈S,有 因为对∀p∈Q{q1},存在s∈S,有 故存在 满足 又因为 K∪{q1}∉K, 由定理1可得,对 有 成立,并且存在s∈S,有 与条件2)矛盾. 证毕 注意到,在条件2)中,对q1∈Q,p∈Q{q1},满足对∀s∈S,有 成立的K是很多的,故为了更快地判定条件2)是否成立,对满足条件2)的前提条件的那些K进行限制. 不成立. 成立. 成立,故2)成立. 证毕 对q1∈Q,存在 p=q4∈Q{q1}, 使得对∀s∈S,有 成立,故不满足条件1).故K在q1处不是前级的. 对q2∈Q,容易验证对∀p∈Q{q2},都满足条件1).下面对每个p∈Q{q2}逐个验证条件2).容易验证,当p=q1和p=q3时,不满足条件2)的前提.对 p=q4∈Q{q2}, 容易验证,对 ∀K⊆Q{q2,q4}, 条件2)均成立.对 p=q5∈Q{q2}, 存在 K={q4}⊆Q{q2,q5}, 使得对∀s∈S,有 成立.但存在s3∈S,有 成立,故不满足条件2).因此,K在q2处不是前级的. 类似可验证K在q3,q4,q5处均不是前级的. 证明先证充分性.已知Q∈K,因为K在问题q1∈Q处是后级的,故 Q{q1}∈K. 因此,存在 有 成立.但q1∉Q{q1},所以存在s∈S,有 假设对∀s∈S,存在p∈Q{q1},有 则存在s∈S,有 再证必要性.对∀K∈K,满足存在 有 下证K{q1}∈K,即证对 有 成立.先证 假设{q1}∉K,则 K{q1}=K. 因此,对∀s∈S,有 故 从而 成立.假设{q1}∈K,则对∀q∈K{q1},满足对∀s∈S,有 综上,有 成立. 证毕 对q1∈Q,存在s1,对∀p∈Q{q1},满足 故K在q1处是后级的.类似可验证K在q2,q3处均是后级的.对q4∈Q,不存在s∈S,使得对∀p∈Q{q4},有 成立.故K在q4处不是后级的.类似,易得K在q5处不是后级的. 算法3获取前级问题集和后级问题集 输出前级问题集和后级问题集 step 1 令FGS=Ø.对每个q∈Q,执行如下步骤. step 1.1 对∀p∈Q{q},如果不存在s∈S,满足 则返回step 1,否则执行step 1.2. step 1.2 对每个p∈Q{q},执行step 1.3. 成立,则 FGS←FGS∪{q}, 否则返回step 1. step 2 令BGS=Ø. step 3 对∀s∈S,遍历Q中的所有问题q,若只存在唯一一个q,使得 成立,则 BGS←BGS∪{q}. step 4 输出前级问题集和后级问题集. 对于算法3,step 1的时间复杂度最大为 O(|Q|(|Q|-1)|S|), step 3的时间复杂度最大为O(|Q||S|),故算法3的时间复杂度最大为 O(|Q|(|Q|-1)|S|). 本节在5个UCI数据上验证算法1～算法3的有效性.实验环境如下:Windows 10及Intel(R)Core(TM)i7-9700UCPU @3.00 GHz,16.0 GB内存.数值实验所用软件为Python 3.8. 对于标准化后的数据集,存在大部分数据集技能对应的熟练程度过小或过细的问题,导致生成知识结构的过程过于繁杂,并且在实际教育背景中,对技能熟练程度划分过小或过细会严格占用个体测试以及技能评估的时间.因此,为了更贴切KST的教育背景,将标准化后的信息值保留一位小数,并根据不同的数据特点,将Soybean、Stone Flakes、Daily、Fires数据集上分别小于等于0.4、0.6、0.6、0.5的信息值都替换成0,并使用 表示模糊技能背景中所有技能的技能层集的基数总和.数据预处理后的具体信息如表7所示. 表7 实验数据集 为了简洁表示文献[26]的算法,使用算法A表示文献[26]中生成简单闭包空间的方法,使用算法B表示文献[26]中保持简单闭包空间不变,获取极小技能集M和冗余技能集R的方法(SR=M).注意到由算法B得到的冗余技能集与技能的顺序有关,所以冗余技能集不唯一.若要得到所有的冗余技能集,需要对整个技能集S进行全排列,重复执行算法B.考虑到算法对比的需要,对于算法B,本文不考虑对技能集S进行全排列,只考虑技能集S的原始顺序这一种情形,此时技能约简的结果是唯一的. 表8 算法2和算法B约简结果与运行时间对比 注意到由算法2得到的可约简技能层模糊技能背景不是唯一的,故对应的可约简技能层和可约简技能也不唯一.因此,表8的第2列只给出运行算法2得到的第一个可约简技能层模糊技能背景对应的可约简技能层和可约简技能.表中算法2的运行时间是获取所有可约简技能层模糊技能背景的时间.通过表8可以发现,两种算法的约简结果是不同的,并且算法2的运行时间远小于算法B.算法B只对技能集S的原始顺序执行一次,由此说明算法2的有效性. 另外,对于算法B约简后得到的极小技能集,再次运用算法A生成简单闭包空间K.所得结果如表9所示,其中,|K|表示简单闭包空间K中的知识状态个数,最后一行的求和表示对算法运行时间的求和. 表9 约简前后获取简单闭包空间的运行时间 图3 算法1和算法A的运行时间随|K|的变化 表10 简单闭包空间的前级(后级)问题集 本文基于模糊形式概念分析研究模糊技能映射.首先,基于构造的算子计算模糊技能概念格,通过外延集族获得模糊技能映射在合取模型下诱导的简单闭包空间,通过内涵集族获得每个知识状态对应的最小技能熟练程度.再基于模糊技能背景,提出技能层约简的概念,使生成知识结构的效率更高.然后,给出模糊技能映射诱导的简单闭包空间是前级和后级的充要条件.最后,在5个UCI数据集中验证本文算法的有效性.本文建立模糊形式概念分析与知识空间理论的一些联系,为研究知识空间理论提供另一种途径.今后将进一步考虑模糊技能映射在其它模型(析取模型和能力模型)下的技能层约简以及寻找前级和后级知识结构的充要条件.另外,后续研究将考虑模糊技能映射下的技能评估和路径选择问题.
5.1 实验数据集
5.2 实验结果
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