二维圆弧阵列结构共面冲击下的平台应力研究

孙德强, 本金翠, 张 超, 许亚利, 葛 凤, 常 露, 李芸娴

(1.陕西科技大学 中国轻工业功能印刷与运输包装重点实验室 3S包装新科技研究所 轻化工程国家级实验教学示范中心, 陕西 西安 710021; 2.西安西电变压器有限责任公司, 陕西 西安 710077; 3.西安国际港务区新农小学, 陕西 西安 710026)

蜂窝结构具有轻量化、耐冲击和缓冲吸能性好等特点,在航空航天、汽车防撞、建筑和包装等领域中被制作成各种缓冲吸能装置,来吸收外部冲击载荷产生的能量[1-4].相关研究表明蜂窝材料孔穴形状不同,相应的能量吸收性能也会大不相同[5,6].Wang等[7]研究了七种不同构型蜂窝结构的共面力学行为,通过比较不同的蜂窝结构,得出Kagome型蜂窝结构的力学性能是最优越的.刘颖等[8]对三角形和四边形蜂窝结构进行了共面冲击有限元计算,发现单位质量的三角形蜂窝比四边形蜂窝具有更高的平台应力和更高的能量吸收能力,并且从压缩变形过程说明相关成因.

为了满足不同的设计需求,蜂窝夹芯层的种类变得越来越多.新型蜂窝夹芯层的研究也越来越多.Guo等[9]在传统的双V形的基础上提出双U形蜂窝,借助理论、数值模拟和试验相结合的方法研究其缓冲性能.孙德强等[10]利用有限元法研究了凹六边形蜂窝的准静态压缩行为,探究了壁厚边长比和扩展角的影响,推导了有关计算公式.Qi等[11]提出一种双圆弧代替凹六边形侧棱结构,极大提高了蜂窝材料的缓冲性能.Zhang等[12]以柚子皮的微观结构为蓝本,设计了一种仿柚子皮层级蜂窝结构,这种仿生设计增强了蜂窝结构共面和异面的耐撞性.Yang等[13]模仿马蹄的形状设计了一系列马蹄形蜂窝结构,证明了马蹄形状的设计方案可以增大蜂窝的平台应力,提高吸能性能.Chen等[14]研究了一种新型负泊松比蜂窝结构的准静态力学特性,通过试验和模拟相结合的方式研究结构参数对冲击性能的影响.这些研究表明,改变传统蜂窝孔穴形状可以得到综合力学性能更优的蜂窝结构材料.在对新构型蜂窝结构力学行为,特别是在大变形条件下的力学行为进行研究,已成为研究人员密切关注的一个热点话题.同时,对产生的各种新构型蜂窝的力学参数要从理论上开展相应研究,并通过试验和有限元数值模拟加以验证,比如共面动态平台应力与各结构参数之间的关系.

二维圆弧阵列结构是一种新型蜂窝结构材料,本文首先建立其共面冲击分析的有限元模型,并通过压缩试验验证有限元模型的可靠性.通过大量参数化模拟计算,揭示其变形模式并得到不同变形模式间临界速度的计算公式.其次,基于二维圆弧阵列结构的特征单元变形模式,推导该结构在不同冲击速度下的平台应力理论模型,并借助有限元计算结果验证理论模型的正确性.最后,利用理论模型和有限元模拟,分析冲击速度、壁厚半径比和圆弧角度对该结构共面平台应力的影响规律.

1.1 有限元模型

参考Sun等[15]建立有限元模型的思路和方法,利用有限元分析软件ANSYS/LS-DYNA建立二维圆弧阵列结构有限元模型,如图1所示.其中R为圆弧半径,b为样品厚度(胞元孔深),θ为圆弧角度,t为圆弧壁厚.

二维圆弧阵列结构置于刚性上压板P1和支撑板P2之间,P1只允许在y方向上移动,限制其余自由度,P2的所有自由度均被限制为0,使得P1以恒定速度v向下运动,压缩样品变形.对样品采用5个积分点的Belytschko-Tsay壳单元Shell163进行网格划分;通过收敛性分析,确定壳单元边长为0.6 mm.整个模型定义单面无摩擦自动接触,样品与刚板之间定义面面自动接触,静动摩擦系数分别为0.2和0.15.基材选用对应变率不敏感的双线性应变硬化材料,各项力学参数为:杨氏模量Es为68.97 GPa,屈服应力σys为292 MPa,正切模量Etan为689.7 MPa,泊松比Vs为0.35,基材密度为ρs为2 700 kg/m3.

样品底部所有节点固定,其它节点只能沿共面方向移动.为了消除尺寸效应对其仿真结果的影响,需要对样品施加周期性边界条件,即将二维圆弧阵列结构左右两侧各节点沿x方向的位移、绕y轴与z轴的转动等自由度约束为0,如图1(d)所示.

图1 二维圆弧阵列结构共面冲击有限元模型

1.2 二维圆弧阵列结构试验样品

图2为二维圆弧阵列结构样品.其制作首先是将铝合金圆管采用激光切割,而后利用高强度粘合剂粘合而成.其总体尺寸为:100 mm×60 mm×50 mm.其中R=10 mm、b=50 mm、θ=180°、t=0.5 mm.

图2 二维圆弧阵列结构试验样品

1.3 模型可靠性分析

为了验证有限元建模方法的可靠性,需要采用压缩试验来验证.为了获得相应有限元模拟的材料参数,需要对压缩试验中使用试样的基体材料进行拉伸试验.

1.3.1 基体材料拉伸试验

构成二维圆弧阵列结构的基体材料为6063-T6型铝合金,按照GB/T 228.1-2021[16]中金属材料室温拉伸试验的规定对基体材料进行拉伸试验.拉伸试样尺寸如图3(a)所示.采用激光切割法制备的实际拉伸试样如图3(b)所示.

采用万能材料试验机以2 mm/min的拉伸速率对三组试样进行拉伸,如图3(d)所示.拉伸后的试样如图3(c)所示.最终得到的应力-应变曲线如图4所示,由图4可以看出6063-T6型铝合金属于典型的理想弹塑性材料,可在有限元模型中采用双线性应变硬化材料模型.

对拉伸试验结果进行处理,可得到试验样品基体材料的各项力学参数为:杨氏模量Es为69 GPa,屈服应力σys为217 MPa,正切模量Etan为675 MPa,泊松比Vs为0.33,基材密度为ρs为2 700 kg/m3.

图4 试样拉伸应力-应变曲线

1.3.2 压缩试验

压缩试验采用万能材料试验机进行,试验样品居中放置于上下刚性压板之间,如图5所示.上压板以12 mm/min的速度向下压缩试样,采用相机录制试样变形全过程.

图5 二维圆弧阵列结构的压缩试验

1.3.3 模型可靠性分析

建立与压缩试验样品尺寸和基材参数完全等效的有限元模型,从变形模式和应力-应变曲线两方面对试验结果和仿真结果进行对比分析.

(1)变形模式

图6表示压缩过程中试样在某一时刻的变形模式以及同一时刻的仿真模拟轮廓.可以看出,试验所得到的变形模式与仿真所得到的变形模式具有很好的一致性.在加载初期,以上部最中间胞元为顶点,出现倒“V”形局部坍塌带(图6(b));然后倒“V”形坍塌带的两个分支向附近单元扩展,引起更多的胞元发生坍塌,坍塌带逐渐变宽(图6(c)～(d));最后一直没有完全坍塌的中部胞元发生坍塌后,样品达到密实(图6(d)～(e)).

图6 压缩试验与仿真变形模式对比

(2)应力-应变曲线

图7表示压缩试验与有限元仿真所得到的应力-应变曲线对比图,两者具有很好的一致性.尽管此试验载荷条件是低速条件下的准静态压缩,但本研究所用基材(6063-T6型铝合金)是应变率不敏感的双线性应变硬化材料,可推出在高速载荷条件下试验和有限元模拟结果也会有很好的吻合性.据此,可证明前述所建有限元模型的可靠性.

图7 压缩试验与仿真应力-应变曲线对比

2.1 变形模式

与其它二维多孔缓冲材料一样,二维圆弧阵列结构在低速、中速和高速共面冲击载荷作用下,会表现出三种不同的变形模式[15,17].

2.1.1 低速冲击载荷下的变形模式

图8为二维圆弧阵列结构在低速冲击载荷作用下的变形模式(v=1 m/s、R=3 mm、θ=120°和t=0.1 mm).冲击初期,出现了一条“波浪”形局部坍塌带(图8(a));随着上压板继续往下移动,该条“波浪”形坍塌带向周边扩展而变宽,同时在其上方出现了第二条“波浪”形局部坍塌带(图8(b));随着时间的推移,两条坍塌带中间的单元逐步被压溃,使得两条坍塌带接触并逐渐融合在一起(图8(c));最终样品达到密实(图8(d)).

图8 二维圆弧阵列结构低速冲击载荷下的变形模式

2.1.2 中速冲击载荷下的变形模式

图9为二维圆弧阵列结构在中速冲击载荷作用下的变形模式(v=6 m/s、R=3 mm、θ=120°和t=0.1 mm).在这一变形模式下,样品顶部第一行单元首先出现“一”字形坍塌带(图9(a));随着上压板的向下移动,中间部分出现一条类似低速变形模式下的“波浪”形局部坍塌带(图9(b));一定变形过后,各坍塌带中间出现更多的局部坍塌带,使得更多的单元局部密实(图9(c));随着上压板继续下移,各局部坍塌带连成一片,直到样品被完全压实(图9(d)).可看出这一变形模式下,除了加载初期顶部短时间的“一”字形坍塌带外,与低速冲击载荷下的变形模式相似.

图9 二维圆弧阵列结构中速冲击载荷下的变形模式

2.1.3 高速冲击载荷下的变形模式

图10为二维圆弧阵列结构在高速冲击载荷作用下的变形模式(v=70 m/s、R=3 mm、θ=120°和t=0.25 mm).这一变形模式下,惯性效应占据了主导地位,下层单元还未发生明显变形的条件下,顶部首层单元已经完全坍塌,并出现“一”字形坍塌带(图10(a));随后“一”字形坍塌带随着上压板的下压,保持同种变形模式持续向下推进(图10(b)～(c)),直至最后完全被压实(图10(d)).

图10 二维圆弧阵列结构高速冲击载荷下的变形模式

由上述分析可以看出,可以用不同的变形模式来区分冲击速度的高低.中速冲击载荷作用下的变形模式属于低速和高速冲击载荷作用下的混合变形模式,表明在从低速模式向高速模式的过渡,与Wei等[17]就新型星型蜂窝变形模式的结论相一致.

2.2 临界速度

相关研究表明[17-19],相对密度和冲击速度对蜂窝材料的变形模式起着重要作用.为了揭示相对密度和冲击速度对二维圆弧阵列结构变形模式的影响规律,将不同相对密度和冲击速度下的变形模式列于图11.其中,二维圆弧阵列结构的相对密度公式为:

(1)

图11 二维圆弧阵列结构不同冲击速度下的变形模式

由图11可以看出,二维圆弧阵列结构不同变形模式间的临界速度与相对密度近似呈线性关系,与Wei等[17]、Qi等[18]和An等[19]得出的结论一致.根据最小二乘法,通过回归分析得到了不同变形模式间的临界速度经验公式分别为:

(2)

(3)

式(2)、(3)中:v1和v2分别为低速冲击载荷下的变形模式向中速冲击载荷下的变形模式、中速冲击载荷下的变形模式向高速冲击载荷下的变形模式转变的临界速度.

平台应力σp的大小决定了蜂窝材料的能量吸收能力,因此对平台应力的研究很有必要.由于在中速冲击载荷下的变形模式除了顶部短时间的“一”字形坍塌带外,更多的表现为低速冲击载荷下的变形模式.参考Wei等[17]的研究方法,可将中速冲击下的平台应力近似等于相应低速冲击下的平台应力.因此本节根据不同的变形模式,在建立该结构准静态平台应力理论模型的基础上,只研究低速和高速冲击下平台应力的理论模型.

3.1 准静态平台应力

由于v=1 m/s时,二维圆弧阵列结构动能占比很小,与Qi等[11]的研究方法一样,可以将v=1 m/s视为准静态.在准静态变形模式中提取出一个特征胞元,其变形前后的形状如图12所示.其中,特征胞元的原始高度和宽度为H0和L0,密实化之后高度和宽度为HD和LD.

图12 特征胞元的准静态变形模式

根据图12(b),可假设只有4段圆弧发生变形(弧NC、弧MC、弧KD和弧LB),其中K、L、M和N分别为弧AD、AB、BC和CD的中点.各段圆弧在发生变形后曲率变化不大,因此可以假设塑性铰只产生于圆弧两端附近[11],故一个胞元内有8个塑性铰,用空心圆圈表示于图12(c)中.

各段圆弧发生变形后,塑性铰转动的角度可以用图13表示.其中弧LB和弧KD中每个塑性铰转动的角度a=θ/4,弧NC和弧MC中每个塑性铰转动的角度b=a/2=θ/8.

图13 特征胞元准静态变形下塑性铰转动的角度

因此,塑性铰转动的总角度Δθ和特征胞元的高度变化量ΔH分别为:

(4)

(5)

准静态载荷下可忽略动能的影响[11],根据塑性耗散理论,外力做功W等于塑性铰产生的塑性耗散EP,可以得出下式:

(6)

式(6)中:MP为塑性矩,其值为MP=σysbt2/4,原始宽度L0=2Rsin(θ/2).

根据公式(5)和公式(6)可得到准静态下的平台应力表达式为:

(7)

3.2 低速冲击时的平台应力

假设由样品与冲击端和固定端的接触力标准化后的平台应力分别为σ1和σ2,在准静态载荷下σ1=σ2.但动态冲击载荷下由于惯性效应,二者不相等,σ2不受冲击速度影响,其值近似等于准静态平台应力σ0[18,19].

按照乔锦秀[20]的方法来研究在低速冲击载荷下(1 m/s

图14 低速冲击载荷下特征单元的变形模式

根据动量守恒原理,σ1和σ2从T1时刻到T2时刻的冲量差值等于特征单元的动量变化.即:

(8)

特征单元从T1到T2时刻动量改变量为:

(9)

由于在T1时刻,胞元Ⅰ发生初始变形,胞元Ⅱ未发生变形(图14(b)和图14(e));在T2时刻,胞元Ⅰ达到密实,胞元Ⅱ产生与胞元Ⅰ在T1时刻相同的变形(图14(c)和图14(f)).所以,T1时刻胞元Ⅱ动量为0,T2时刻胞元Ⅱ动量等于T1时刻胞元Ⅰ的动量.即:

(10)

根据公式(9)、(10)可以得到:

(11)

式(11)中:m为胞元Ⅰ的质量.

由于速度是恒定的,因此T1时刻到T2时刻的时间间隔ΔT为:

(12)

由公式(8)、公式(11)和公式(12)可得:

(13)

将L0=2Rsin(θ/2)、σ2=σ0代入公式(13),可以得到低速冲击载荷下的平台应力σL的理论公式为:

(14)

3.3 高速冲击时的平台应力

与低速冲击下平台应力的推导方法一样[20],在高速冲击载荷下(v≥v2),选取相邻两层胞元作为一个特征单元来分析其在共面高速冲击下的平台应力,如图15所示.

根据公式(8)～(13)可以得出高速冲击载荷下的平台应力σH的理论公式为:

(15)

图15 高速冲击载荷下特征单元的变形模式

3.4 平台应力理论计算公式验证

图16为二维圆弧阵列结构不同冲击速度下平台应力理论值与仿真值的对比图.

图16 平台应力理论值与仿真值的对比

由图16可以看出,理论值与仿真值吻合较好.并用表1给出了平台应力理论值与仿真值的相对误差,两者的误差<10%.证明公式(7)、公式(14)和公式(15)可以较好地预测二维圆弧阵列结构在共面不同冲击速度下的平台应力,同时也证明了前述有限元模型的可靠性.

表1 平台应力理论值与仿真值的相对误差

4.1 冲击速度对平台应力的影响

图17表示二维圆弧阵列结构冲击速度与平台应力的关系曲线.可以明显地看出平台应力理论值与仿真值吻合度较高,都随着冲击速度的增大而增大.且中速冲击下的平台应力与低速冲击和高速冲击下的平台应力可近似为在一条曲线上,可视为与冲击速度的平方呈线性关系.

图17 冲击速度与平台应力关系曲线

4.2 壁厚半径比对平台应力的影响

图18为圆弧角度相同时,二维圆弧阵列结构壁厚半径比与平台应力关系曲线.可以看出理论值与仿真值具有很好的一致性.同一圆弧角度下,平台应力随着壁厚半径比的增大而增大.这是因为壁厚半径比越大,该结构相对密度越高,越不容易发生屈曲且抗冲击能力也越强.

图18 壁厚半径比与平台应力关系曲线

4.3 圆弧角度对平台应力的影响

图19为相对密度一致时,圆弧角度与平台应力的关系曲线.

图19 圆弧角度与平台应力关系曲线

由图19可以看出,理论值与仿真值具有很好的一致性,平台应力随着圆弧角度的增大而增大.这是因为在相对密度一致时,随着圆弧角度的增大,二维圆弧阵列结构的壁厚、可变形空间和塑性铰转动的角度进一步增大,因此就需要更大的冲击力来达到与其它较小圆弧角度相同的应变.

本文借助理论、仿真和试验的方法研究了二维圆弧阵列结构共面冲击载荷条件下的平台应力,得到如下结论:

(1)二维圆弧阵列结构在低速冲击下的变形模式为“波浪”形坍塌;中速冲击下的变形模式为“一”字形加“波浪”形坍塌;高速冲击下的变形模式为从顶部到底部稳定的“一”字形坍塌;并通过回归分析给出不同变形模式之间的临界速度经验公式,得出临界速度与相对密度呈线性关系.

(2)运用塑性耗散理论和动量守恒原理推导出了二维圆弧阵列结构在不同冲击速度下共面平台应力的理论公式,并用有限元计算结果验证了理论公式的正确性.

(3)同一结构参数下,二维圆弧阵列结构的共面平台应力与冲击速度的平方呈线性关系,并随冲击速度的增大而增大;冲击速度相同时,其共面平台应力随着壁厚半径比的增大而增大;相对密度一致时,其共面平台应力随着圆弧角度的增大而增大.

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