具有非线性交叉扩散的Lotka-Volterra竞争系统的共存解

贺子鹏,董亚莹

(西安工程大学 理学院,西安 710048)

近年来,带有交叉扩散项的各类生物学模型被广泛关注[1-5].对于带有交叉扩散的竞争模型,传统观点认为: 物种有从竞争物种的高密度区域向低密度区域扩散的趋势,因为这样可减少竞争带来的压力.但从生态学的角度看,为保证种群在竞争关系中能获得足够的资源,物种有向竞争物种数量相对集中区域靠近的趋势,因为该区域资源更丰富.基于此,文献[6]考虑了如下一类Neumann边界条件下具有非线性交叉扩散的Lotka-Volterra竞争系统:

(1)

(H1) 对于u∈[0,∞),有γ(u)∈C2([0,∞)),γ(u)>0且γ′(u)<0.

从生态学的角度看,上述假设表明物种v会在竞争物种u的高密度区域降低自身的扩散速度.

受文献[6]启发,本文考虑如下齐次Dirichlet边界条件下的系统(1):

(2)

本文主要研究系统(2)的平衡态问题,分析系统(2)半平凡解的稳定性及正解的存在性.首先考虑系统(2)对应的椭圆系统:

(3)

特别地,本文沿用文献[6]对γ(u)的假设条件,即(H1)成立.

1.1 特征值问题

-τΔw+φ(x)w=σw,x∈Ω,w=0,x∈∂Ω

(4)

存在下有界的至多可数个特征值.记其中第i个特征值为σi(τ,φ),满足

σ1(τ,φ)<σ2(τ,φ)≤σ3(τ,φ)≤…,

且当i→∞时有σi(τ,φ)→∞.特别地,σ1(τ,φ)是简单特征值且对应的特征函数在Ω上不变号.通常σ1(τ,φ)被称为式(4)的主特征值,且σ1(τ,φ)满足如下变分形式:

进一步,关于主特征值σ1(τ,φ)有如下性质.

引理1[7]下列结论成立:

1) 若φ1(x)≤φ2(x)且φ1(x)≠φ2(x)(x∈Ω),则σ1(τ,φ1)<σ1(τ,φ2);

2) 若0<τ1<τ2,则σ1(τ1,φ)<σ1(τ2,φ);

更多关于线性特征值问题的结果可参见文献[7-9].

1.2 半平凡解的存在性

对于方程

-τΔw=m(x)w-n(x)h(x,w)w,x∈Ω,w=0,x∈∂Ω,

(5)

根据文献[7]中定理3.5和定理3.7,有如下结果.

引理2若下列条件成立:

则当且仅当σ1(τ,-m(x))<0时,方程(5)存在全局渐近稳定的唯一正解.

对于系统(2),当v=0时,u满足

-dΔu=b1u-u2,x∈Ω,u=0,x∈∂Ω.

(6)

根据引理2,当且仅当σ1(d,-b1)<0,即b1>dσ1(1,0)时,式(6)存在全局渐近稳定的唯一正解,将其记为θd,b1.因此,当σ1(d,-b1)<0时,系统(3)存在半平凡解(u,v)=(θd,b1,0).类似地,当σ1(γ(0),-b2)<0,即b2>γ(0)σ1(1,0)时,系统(3)存在另一个半平凡解(u,v)=(0,θγ(0),b2).

1.3 锥中的度理论

为方便利用正锥上的不动点指数理论[10-12],下面给出一些记号和定义.

令

(7)

记r(T)为算子T的谱半径,根据文献[13]中引理2.3和引理2.4,下列引理成立.

1) 若σ1(τ,-φ)<0,则r[(-Δ+M)-1(τ-1φ+M)]>1;

2) 若σ1(τ,-φ)>0,则r[(-Δ+M)-1(τ-1φ+M)]<1;

3) 若σ1(τ,-φ)=0,则r[(-Δ+M)-1(τ-1φ+M)]=1.

其中(-Δ+M)-1是-Δ+M在齐次Dirichlet边界条件下的逆算子.

设T:W→W是一个Fréchet可微紧算子,记DT(ψ)为T在ψ∈W处的Fréchet导数.同时,若ψ∈W是T的不动点,则DT(ψ)是一个紧线性算子.由文献[14]可知,下列引理成立.

2) 当r(DT(ψ))<1时,indexW(T,ψ)=1.

1.4 正解的先验估计

为建立系统(3)正解存在的充分条件,先给出正解的先验估计.记V=γ(u)v,则系统(3)可整理成如下系统:

(8)

0≤-dΔu(x0)≤u(x0)(b1-u(x0)).

0≤-ΔV(x1)=v(x1)(b2-c2u(x1)-v(x1)).

因为00(u∈[0,∞)),所以v(x1)>0,因此0≤b2-c2u(x1)-v(x1)≤b2-v(x1).于是有v(x1)≤b2,从而对任意的x∈Ω均有

V(x)≤V(x1)=γ(u(x1))v(x1)≤γ(0)v(x1)≤γ(0)b2.

证毕.

定理11) 当σ1(d,-b1)>0且σ1(γ(0),-b2)>0 时,系统(3)的平凡解(0,0)是渐近稳定的; 当σ1(d,-b1)<0或σ1(γ(0),-b2)<0时,系统(3)的平凡解(0,0)是不稳定的;

3) 当σ1(d,c1θγ(0),b2-b1)>0时,系统(3)的半平凡解(0,θγ(0),b2)是渐近稳定的; 当σ1(d,c1θγ(0),b2-b1)<0时,系统(3)的半平凡解(0,θγ(0),b2)是不稳定的.

证明: 系统(2)在(u,v)处的线性化系统为

令(h(x,t),k(x,t))=(e-σtφ(x),e-σtψ(x))[15],则可得

(9)

下面用谱理论判断系统(2)在(u,v)处的稳定性.若系统(2)在(u,v)处的线性化系统(9)的谱均具有正实部,则(u,v)是渐近稳定的; 若谱中存在负实部的点,则(u,v)是不稳定的.由于1),3)的讨论类似,2)的讨论更复杂,因此本文只给出2)的证明.

将(u,v)=(θd,b1,0)代入式(9)得

(10)

令Ψ=γ(θd,b1)ψ,则式(10)可改写为

(11)

若Ψ恒为0,则

σ=σi(d,2θd,b1-b1)≥σ1(d,2θd,b1-b1)>0 (i≥1).

事实上,根据引理1,有σ1(d,2θd,b1-b1)>σ1(d,θd,b1-b1),此外,θd,b1满足

-dΔθd,b1+(θd,b1-b1)θd,b1=0.

(12)

由于θd,b1≥0,可得0为方程(12)的主特征值,也即σ1(d,θd,b1-b1)=0,从而有

σ=σi(d,2θd,b1-b1)≥σ1(d,2θd,b1-b1)>σ1(d,θd,b1-b1)=0 (i≥1).

根据文献[16]可知,在Ω上有γ(θd,b1)>γ(b1),从而

即

下面建立系统(3)的等价系统(8)正解存在的充分条件.对于系统(8),当u=0时,V满足

(13)

设(u,V)为系统(8)的任一正解,在系统(8)中u的方程两端同乘u并在Ω上积分,得

根据引理5可定义集合

O∶={(u,V)∈W:u(x)≤b1+1且V(x)≤γ(0)b2+1,x∈Ω},

则系统(8)的所有非负解都位于其内部.对任意的(u,V)∈O,总存在足够大的常数M,使得

定义如下Fréchet可微算子[17]Ts:O→E:

其中s∈(0,∞).经过简单计算,可得Ts在非负解(u,V)处的Fréchet导数为

引理6degW(I-T1,intO)=1.

证明: 设(us,Vs)为Ts的不动点,则(us,Vs)满足

(15)

再根据引理2,当σ1(1,-sb2/γ(0))>0,即s<γ(0)σ1(1,0)/b2时,有Vs=0.因此,当s∈(0,min{dσ1(1,0)/b1,γ(0)σ1(1,0)/b2})时,(0,0)是Ts在W上的唯一不动点,根据拓扑度的切除理论[18]知,对任意的s∈(0,min{dσ1(1,0)/b1,γ(0)σ1(1,0)/b2}),有degW(I-Ts,intO)=indexW(Ts,(0,0)).

下面计算indexW(Ts,(0,0)),其中s∈(0,min{dσ1(1,0)/b1,γ(0)σ1(1,0)/b2}).将(u,V)=(0,0)代入式(14)可得

整理得

因此,对任意的s∈(0,min{dσ1(1,0)/b1,γ(0)σ1(1,0)/b2}),有

degW(I-T1,intO)=degW(I-Ts,intO)=indexW(Ts,(0,0))=1.

证毕.

引理7若σ1(d,-b1)<0且σ1(γ(0),-b2)<0,则有indexW(T1,(0,0))=0.

引理8若σ1(d,-b1)<0且σ1(γ(0),-b2)<0,则当σ1(d,c1θγ(0),b2-b1)<0时,indexW(T1,(0,γ(0)θγ(0),b2))=0; 当σ1(d,c1θγ(0),b2-b1)>0时,indexW(T1,(0,γ(0)θγ(0),b2))=1.

证明: 根据式(14)可知,T1在(u,V)=(0,γ(0)θγ(0),b2)处的Fréchet导数为

令

根据式(7),易见

(I-DT1(0,γ(0)θγ(0),b2))(h,k)T≠0.

整理得

(17)

若h恒为0且k不恒为0,则由式(17)中第二式有T2k=k,即1为算子T2的一个特征值,因此r(T2)≥1.另一方面,结合引理1中1)以及定理1中3)的证明部分,易知

σ1(γ(0),2θγ(0),b2-b2)>σ1(γ(0),θγ(0),b2-b2)=0.

再由引理3中2)有r(T2)<1,矛盾,故h不恒为0.即h≥0(不恒为0),此时由式(17)中第一式有T1h=h,再结合Krein-Rutman定理,易知r(T1)=1.但根据引理3,当σ1(d,c1θγ(0),b2-b1)≠0时,r(T1)≠1,矛盾,从而结论成立.

当h恒为0时,σ为T2的一个特征值,由于σ1(γ(0),2θγ(0),b2-b2)>0,结合引理3中2),有r(T2)<1,因此|σ|<1.当h不恒为0 时,σ为T1的一个特征值,因为r(T1)<1,所以|σ|<1.从而|σ|<1总成立,故r(DT1(0,γ(0)θγ(0),b2))<1,再结合引理4中2),有indexW(T1,(0,γ(0)θγ(0),b2))=1.证毕.

类似可得如下引理.

下面给出系统(8)正解存在的充分条件.

综上所述,本文研究了一类齐次Dirichlet 边界条件下具有非线性交叉扩散的Lotka-Volterra 竞争模型(2)的平衡态问题,分析了该模型半平凡解的稳定性及正解存在的充分条件.这里非线性交叉扩散描述了物种向资源相对丰富的区域移动这一趋势.本文结果给出了两竞争物种共存的充分条件,可为物种的保护和控制提供理论指导.

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