解题教学中数学核心素养的培养

关婷婷 黄金莹

摘 要：本文以一道高考题为例，借助波利亚在其著作《怎样解题》中提到的“怎样解题表”，阐述具体解题教学过程，探索解题教学中数学核心素养的培养.

关键词：核心素养；
怎样解题表；
解题教学

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）15-0026-03

最新《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）的颁布标志着核心素养时代的到来.《课标》中列出了六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些核心素养既相对独立又相互交融，是一个有机的整体［1］.数学抽象是指会用数学的眼光看待世界，逻辑推理是指会用数学的思维思考世界，数学建模是指会用数学语言表达现实世界.由此，数学抽象对应数学眼光；
逻辑推理对应数学思维；
数学建模对应数学语言.其中直观想象是数学抽象的基础，数学运算和数据分析是实现数学抽象，逻辑推理和数学建模的数学方法［2］.

波利亚在其著作《怎样解题》中用“如何解题表”完整地阐述了解题的四个阶段，分别为：理解题目、拟定方案、执行方案、回顾［3］.这对教师如何在解题教学中提高学生的解题能力，有很大的启发.那么如何在解题教学中，利用波利亚的“如何解题表”提高学生数学的核心素养呢？下面用一道高考数学题为例，详细阐述数学六大核心素养在波利亚“如何解题表”四阶段中的作用，并提出相应的教学建议.

1 例题分析

（2022全国甲理16）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=.

1.1 理解题目阶段

未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件是否充分？你能重新描述题目吗？波利亚在此阶段的问题串，将学生注意力集中在题目上，产生数学思维.这实际上是核心素养中的数学抽象和直观想象在起作用.例如在本题中由已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD这一系列已知条件，利用数形结合的思想，抽象出已知条件所描绘的图形.如图1.

1.2 拟定方案阶段

拟定方案阶段是寻求有用思路的阶段，解题思路是逐步形成的.通常需要唤醒相关的记忆，而难点在于太多题目与所求题目相关，怎么辨别真正实用的题目呢？这就需要运用逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的数学核心素养.此阶段是运用数学核心素养最丰富的阶段.例如，由题目中已知条件逻辑推理出本题考查解三角形，再由解三角形找到两条思路，分别为：（A）利用正弦定理和余弦定理求解题目；
（B）由特殊角∠ADB=120°，利用直观想象建立直角坐标系进行解题.以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，过点D垂直于BC的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.利用直观想象素养，在图2找出图形与数量的关系.令BD=t（t>0），则C（2t，0），A（1，3），B（-t，0）.这时数学运算素养将分别对思路（A）和思路（B）选择出合理的运算方式.其中（A）中选择在△ABD和△ADC中运用余弦定理进行计算，（B）选择坐标计算法.而逻辑推理、数学建模和数据分析素养，对两条思路整理和建构.在头脑中设计出完整的解题方案，最终确定合理的解题框架.比如（A）令BD=x，DC=2x，在△ABD中，利用余弦定理可以得出AB关于x的表达式.同理在△ADC中由∠ADB=120°，逻辑推理出∠ADC=180°-120°=60°.利用余弦定理得出AC关于x的表达式，将AB和AC带入AC2AB2得到一个关于未知量x的分式.（B）在直角坐标系中利用两点间距离公式，将C（2t，0），A（1，3），B（-t，0）带入AC2AB2得到一个关于未知量t的分式.如上述在头脑中搭建全部思路的过程，实际上运用的是数学建模思想.再由逻辑推理和数学运算素养，推断出思路（B）计算更加简洁，优先考虑.

1.3 执行方案阶段

在执行方案阶段，学生已经构造出解题的框架，接下来最需要的就是耐心.在这个阶段起到作用的是直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.例如，利用直角坐标系中的两点间距离公式得到AC=（2t-1）2+3;AB=（t+1）2+3，带入题中ACAB.逻辑推理判断出将上述式子平方后带入AC2AB2更加方便后续计算.数学运算素养在执行方案阶段占据主要地位，例如AC2AB2=（2t-1）2+3（t+1）2+3=4-12t+1+3/t+1，运用分离常数的计算技巧，直观想象洞察出分母t+1+3/t+1（t＞0），符合基本不等式a+b≥2ab（a＞0，b＞0）.

1.4 回顾阶段

首先，学生需要检验t+1+3/（t+1）是否符合基本不等式的条件，这个过程起作用的是逻辑推理和数学运算素养；
其次，需要整体梳理解题思路，直观想象发现思路，逻辑推理探索思路，数学运算执行解题思路；
最后，利用数学抽象素养和数学建模思想形成整体解题框架，纳入已获得的知识体系中.

2 解题教学中培养数学核心素养的教学建议

2.1 理解题目阶段

在理解题目阶段，如何培养学生数学抽象素养？首先培养学生用直观化策略解决问题的习惯.学生理解题目的语言陈述，教师对此进行检查，比如：请学生复述题目；
指出已知量，未知量，将文字语言转化为符号语言等.题目中已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°.针对这样的文字描述，引导学生在题目所描绘的情境中，抽象出数学图形.

其次在教学中强化相关知识的联系，培养学生抽象思维素养的深刻性.看到题目能够去粗取精，快速地找到突破点.比如解三角形教学时，将平面向量、基本不等式等相关知识串联在一起，形成知识网络.

2.2 拟定方案阶段

从理解题目到找到解题方案是一个漫长曲折的过程，首先学生要逐渐形成解题思路，这也是最困难的一步.在学生寻找解题思路不顺利时，教师要联想自己的解题经历，适当地用不同的问题启发学生.比如：你能回想起与它有关的题目吗？观察未知量和已知量，尝试找到它们之间的桥梁.全部的已知条件都用到了吗？比如看到∠ADB=120°，联想到数形结合，将三角形放入直角坐标系中.

其次提高学生直观想象素养，要重视培养学生积累基本知识点和基本图形的习惯，这样才能在做题中化具体为抽象、化无形为有形.例如，由△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD发现思路（A），由∠ADB=120°特殊角发现思路（B）.当学生发现多条思路时，教师需要提高学生逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析核心素养，综合建构解题框架，并准确地判断合理方案.逻辑推理需要雄厚的知识积累，教师可以让学生重新叙述题目，找到题目相关的知识，检验学生是否深刻理解题目.那么如何提高学生逻辑推理的灵活性？教师需要有意地锻炼学生的发散思维和想象力，从而提高判断合理解题方案的准确性.

2.3 执行方案阶段

首先在执行方案阶段，教师要做的是坚持让学生检查每一细节，推演每一步的合理性，培养学生逻辑推理和数学运算素养.比如由AC/AB推导出采用更方便的AC2/AB2.

其次，由于拟定方案阶段会出现两种情况，一是学生独立形成的解题框架，二是学生在同伴或者教师的影响下拟定的解题方案.如果是第二种情况，学生很容易在执行方案阶段忘记了拟定好的方案.教师需要在恰当的时机提醒学生“应该从哪里开始”.还可以让学生区别“看出”和“证出”，这是两种不同的概念.“看出”不一定是正确，只有合理的“证出”才是最终正确答案，同时培养数学直观和逻辑推理核心素养.

最后，执行方案阶段是提高学生数学运算素养的最好时机，并且数学运算素养贯穿始终.教师可以引导学生带着思考进行运算，先慢后快.清晰明确计算步骤，对运算规律进行积累，潜移默化地培养数学运算素养.

2.4 回顾阶段

这是最容易忽略却最能提高解题能力的阶段.即便是优秀的学生，在解答了题目之后也会习惯地认为这个题目彻底完成了.首先，教师需要让学生意识到：没有题目是彻底完成了的，需要继续深化对答案的理解，重新斟酌解题过程，尝试改进解答方法.比如，阐述本题中产生的思路（A）和（B），为什么选择（B）作为解题方案？

其次，教师可以利用让学生适当改编题目，使之更加适应思路（A）的方式提高逻辑推理、数学抽象和数学运算素养.

最后，对于已经总结出来的解题框架，要寻找其他适用此框架的题目，这些题目具体解释题目中的抽象的数学元素，又提高了直观想象的能力.

3 结束语

数学核心素养的形成依赖基础知识和基本技能，又高于基本思想和基本活动经验.解题课中首先要重视学生基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的积累，其次要重视数学题之间、数学解题方法和其他学科的联系，循序渐进地培养学生数学核心素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

[2] 魏珂，胡典顺.基于“数学核心素养”视角下的解题教学：从波利亚解题思想出发[J].中学数学，2017（08）：95-97.

[3] G·波利亚.怎样解题［M］.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011.

［责任编辑：李 璟］

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