学情出发巧设计数学文化促理解

陈志兴

当前数学教育提倡“为理解而教”，正确解读教材和深入理解学情是上好每一节课的基础.教师在进行教学设计时，应当把握整体教学脉络，关注学生的已有知识经验和生活经验，做到把握学情、抓住知识本质，这样才能促进学生理解和掌握知识本质，形成良好的思维结构.数学文化承载丰富，不仅包括丰富多彩的历史文化，还包含数学精神、数学思想、数学意识、数学美等.在数学教学的过程中，基于具体学情无痕融入数学文化可以达到激趣引思之效，也可以促进学生深层次理解知识，继而形成与发展数学素养.下面，笔者以“锐角三角函数（第一课时）”的教学为例谈谈自己的几点看法，就教于方家.

1 数学文化促理解的教学过程

1.1 文化导入，溯源概念

问题1公元前3世纪，古希腊数学家、天文学家阿利斯塔克忽然有了重大发现.如图1，月亮呈现半圆时，太阳A、地球B、月亮C三者的圆心恰好为一个直角三角形的三个顶点，且∠ABC=85°.据此他还计算得出地球与月亮的距离约为地球与太阳距离的119，你知道他是如何计算得出的吗？请试着说一说.

设计意图：当下数学课堂盛行情境教学，而情境教学往往源于生活，也就是所说的“生活情境”.天体问题是三角学中的重要问题之一，也是促进学生了解正弦概念，引入直角三角形中的锐角三角函数的有效载体.基于此，教师巧妙融入古希腊经典案例，以三角应用背景极好地激趣引思，激发学生深入探究的欲望，为锐角正弦函数的形成做足铺垫.

1.2 特例归纳，结构理解

问题2如图2，在Rt△ABC中，有∠A=30°.

（1）若BC=35，试求AB；

（2）若BC=75，试求AB.

学生活动：学生易根据定理“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”得出∠A的对边与斜边之比BCAB=12，进而使问题获解.

问题3如图3，在Rt△ABC中，有∠A=45°，试求∠A的对边与斜边之比BCAB的值.

师生活动：据Rt△ABC也是等腰三角形，从而设两腰AC=BC=x，得出AB=BC2+AC2=x2+x2=2x，则BCAB=x2x=22.基于上述问题2和问题3，师生总结得出“无论直角三角形的大小如何，夹角是30°还是45°，其对边与斜边之比都是一个固定的值”.

问题4在图4所示的Rt△ABC，Rt△A′B′C′中，若有∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，试探求BCAB和B′C′A′B′间的关系.

学生活动：学生易根据已知条件判定Rt△ABC与Rt△A′B′C′相似，进而得出BCB′C′=ABA′B′，变形后可得BCAB=B′C′A′B′，从而得出“对于给定的Rt△ABC，其锐角的对边与斜边之比等于一定值”.

总结：根据以上递进式探究，不难发现在直角三角形中，若锐角A的度数确定，则其对边与斜边之比为一定值.事实上，古代数学家早已发现这一规律，如图5所示，在直角……（课件出示相关概念.）

设计意图：从特殊直角三角形、相似三角形引入，过渡到一般直角三角形，让学生在拾级而上的探究中深刻认识到对于给定的直角三角形的一个特征，从而助力对锐角正弦概念的理解，并深化锐角正弦与相关知识间的联系.进一步地，牢牢把握利用锐角对边与斜边之比来定义正弦概念，赋予概念结构特征等，以促进对概念本质的结构性理解.

1.3 追溯历史，增进理解

问题5sin A为线段间的一个比值，你知道它的符号“sin”是从何而来的吗？（课件呈现正弦历史：事实上这个数学符合的创造是相当曲折的，其中伴随了漫长的三角学和三角函数的发展史.“sin”是十五世纪西欧数学界雷基奥蒙坦创造的，他是一位阿拉伯领导人物.早在1464年他已经完成了著作《论各种三角形》，并于1533年发行.这本脱离天文学的纯三角学的书，让三角学独立开来，成为了数学分科.随着历史的发展，明朝时期我国政治家、科学家徐光启历经毕生研究数学、天文、历法、水利等，在此期间将“sin”翻译为正弦.历史大阔步前进，16世纪的法国数学家韦达，在《应用于三角形的数学定律》一书中系统论述三角学，运用了包括正弦在内的6种比值，同时创造了与之对应的三角函数表.进一步地，到了18世纪之后，瑞士数学家欧拉首次提出正弦函数的概念，此时三角形已然不再拘泥于三角形解法的研究，而是融合了函数线与单位圆，三角函数的相关知识在后续的高中阶段我们将会学到……）

设计意图：辅以视频演示，让数学符号“sin”的相关历史呈现于学生的视野之中，达成数学文化的传播，有效增进文化性理解.

1.4 学以致用，深化理解

问题6现在回归课堂导入部分，如图1，现在你觉得阿利斯塔克是如何计算出来的？

学生活动：该直角三角形中，∠A=5°，其对边与斜边之比BCBA所表示的是地月距离与地日距离之比，画出该三角形后，易得到地月距离与地日距离之比sin 5°≈119.

问题7如图6，已知登山者甲和乙两人在两个倾斜角分别为30°和45°的斜坡上步行150 m，甲、乙二人谁登得高，为什么？

学生活动：设甲攀登的高度是h1 m，乙攀登的高度为h2 m，据锐角正弦公式，易得h1=150sin 30°=75，h2=150sin 45°=752，进而得出结论.

问题81999年起，意大利对比萨斜塔维修偏差，并于2001年整体竣工，竣工时塔顶中

心线偏离垂直中心线角度减少至5°，那么此时塔顶中心线偏离垂直中心线的距离是多少？（sin 5°≈0.09，比萨斜塔高54.5 m.）

学生活动：如图7，根据sin 5°=BCAB，可得BC=AB·sin 5°≈54.5×0.09=4.905（m）.

设计意图：利用数学文化学以致用是数学教学中极其重要的一环，其中，如何巧妙运用十分重要.这一环节中，教师通过经典案例的问题设计，强化了学生对新知的理解和认识，让学生切实感受到数学的应用性，从而获得克服障碍解决问题的满足感.

2 构建促进理解的数学文化教学的认识

2.1 数学文化教学利于深入理解数学本质

在教学的过程中，基于学情不断融合数学思想、方法、观念、语言及其形成与发展，以及数学史、数学美，可以让学生的数学学习更系统、更完善.本课中，学生在数学文化的熏陶下深入了解数学的特征，通过深入理解数学本质构造出数学知识间的联系，最终在深度探究中切实感悟到数学是有用的，形成终身受益的能力.

2.2 数学文化教学利于激发求知欲望与创新意识

数学学习从本质上来说就是为了“学以致用”，在应用的过程中渗透数学文化才能有所创新.教师通过对数学文化的传播，让学生自由漫步于自由发展的数学文化形态中，可以自然而然地激发求知欲望与创新意识，让学生在质疑中深度探究、高效建构.本课中，正是由于教师在教学的过程中不失时机地渗透与传播数学文化，才使得学生在学习活动中不断深入思考，体验征服数学的过程，最终自然而然地突破难点，实现高效建构.

2.3 数学文化教学利于提高数学素养

在教学中，充分挖掘教学中的文化价值，揭示知识发生与发展的全过程，努力还原或再现知识发现或发明的过程，让学生感受到数学不仅是创造出来的，还是发明出来的，可以让学生主动探寻并善于把握数学问题的本质与背景，进而培养学生的科学态度和理性精神.本课中，教师不断展示一种充满人类创造力的文化境界，让学生在主动思考中合理提出概念与方法，并能结合数学文化背景思考和解决问题，从而有效提高数学素养.

总之，用数学文化促进理解可以让学生在知识运用中培养创新意识，无痕发展数学核心素养.一线数学教师需努力丰富自身的数学文化修养，基于具体学情设计教学过程，让学生在习得知识技能的过程中感受数学文化的熏陶，产生文化共鸣，从真正意义上理解数学、喜爱数学、热爱数学.

参考文献：

梁绍君.数学文化及其数学文化观照之数学教育.重庆大学学报（社会科学版），2006（3）：127-131.

张楚廷.数学文化.北京：高等教育出版社，2000.

羊振华，徐玉庆.基于数学文化的高中数学教学设计案例分析——记一堂研究生数学教学设计研讨课.数学教学通讯，2016（36）：4-5.

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