磷酸铁锂电池二阶可变阻容的模型研究

王维强，蔡凡昌，严运兵

（武汉科技大学汽车与交通工程学院，湖北 武汉 430065）

动力电池在实际使用中，需要准确得到其内部的状态变化情况，以便对整个电池组的能量和状态进行管理和规划。但受限于其内部电化学反应的非线性，且充放电时化学反应过程非常复杂，很多参数无法直接测量，需要用电池模型进行模拟，间接测量电池参数[1]。

等效电路模型使用阻容（RC）网络描述动力电池的动力学特性，使用电压源表示热力学平衡电动势，可以推导出模型的状态方程，便于分析和应用[1]。其中戴维宁（Thevenin）模型结构简单，实际应用中物理意义清晰、参数测量容易[3]，但是只使用了一个RC并联回路来表现电池极化效应，一方面没有把电池内部的电化学极化和浓差极化分别描述出来，另一方面没有把电池在充放电时内部参数处于动态变化的这一内在本质表达出来，因而不够精确；
在此基础上通过增加RC网络可提高精度。文献[4]在锂电池SOC估计中，用三阶RC模拟电池模型，仿真精度有所提升，然而随着RC回路的增加，模型复杂度也相应的提高，实际难以应用[4]；
且文献[5]表明，在RC环路的数目超过两个时，随着RC个数的增加，模型的精度不再有明显的改善，然而复杂度却显著提高，通过盲目的叠加RC网络的个数是得不偿失的[5]。文献[6]使用分数阶元件和状态转移方程等数学方法模拟锂电池内部参数变化过程，模型精度很高，但是在实验过程中其欧姆电阻趋于发散，且计算过程较为繁琐，导致无法实时应用[6]。

针对电池模型研究情况，这里提出二阶可变RC模型，能够反映电池内部双极化效应和参数动态变化情况，模型相对更加精确，且能从根本上解决精度与复杂度不能兼顾的难题。通过对磷酸铁锂锂离子电池进行充放电实验和混合动力脉冲功率特性（HPPC）测试，将辨识得到的各参数值建立与SOC变化的函数关系，基于MATLAB∕SIMULINK 进行仿真验证，对比发现，改进的模型更加准确，可行性更高。

针对电池内部的静动态特性，通过使用等效电路模型中的RC网络，能够较为准确地模拟该过程[7]。在原Thevenin模型中增加一个RC 回路的二阶RC模型，考虑了电池的双极化效应[8]，同时根据不同SOC下辨识得到的各参数的值，使用MATLAB 多项式拟合，将模型中实际处于动态变化的参数R0、Rp1、Rp2、Cp1、Cp2设置成随电池SOC 变化的函数，建立二阶可变RC 模型，如图1 所示。改进后的模型，能较为准确的模拟出电池内部反应机理。

图1 锂离子电池二阶可变RC的等效电路模型Fig.1 The Equivalent Circuit Model of Second-Order Variable RC of a Lithium-Ion Battery

图中：Uocv—电池开路电压；
UP1—电化学极化电压；
UP2—浓差极化电压IL—闭合回路的电流；
UL—电池端电压；
R0—欧姆内阻；
RP1—电化学极化电阻；
RP2—浓差极化电阻；
CP1—电化学极化电容CP2—浓差极化电容。除电流外，各参数随电池SOC的变化而变化。将两个RC网络的电压UP1、UP2作为状态变量，结合基尔霍夫定律，得到该变参数二阶RC电路模型的状态方程为：

改进后电池模型的Uocv的计算公式为：

观察上式，该模型需要进行辨识的参数为UOCV、R0、RP1、RP2、CP1、CP2，而IL、UL可通过外电路测量得知。根据《Freedom CAR电池实验手册》[9]，这些参数可通过对电池进行充放电实验和混合动力脉冲能力特性（HPPC）获取的数据计算和拟合得到。

3.1 实验对象与设备

实验以新威（Neware）高性能电池检测系统（深圳产）作为测试平台，以L148F20型磷酸铁锂电池为研究对象，该电池的额定电压为3.2V，容量20Ah。为排除温度因素对实验造成的干扰，同时使电池处于常用工作温度下，实验中选用优尼克高低温交变湿热试验箱（苏州产），设定整个实验过程为恒定25℃，使用电池检测系统的软件BTSDA对电池实验过程进行检测和数据采集。所用实验设备，如图2所示。

图2 电池实验设备Fig.2 Battery Experiment Equipment

3.2 实验方法和过程

3.2.1 恒流充放电实验

首先将实验用的电池连接到电池测试仪，以0.5C恒流充电至电池电压为3.6V 时转恒压充电，待充电电流减小到0.033C（0.66A）时停止充电，此时SOC 为1，视为电池充满电。静置1h后，再将电池以0.5C 恒流放电，每放10%（12min）后断电，静置1h，直至达到截止电压（2.5V）停止放电，记录相应数据，得到电池SOC值从（1.0～0.1）状态下的电压变化情况。

根据静置后的数据和曲线可知，无论是在充电还是在放电情况下，处于不同SOC状态下的电池，静置一段时间后，电压曲线有相同的趋势，电压值趋于一个稳态定值。故可以得到这一结论：即电池在充放电静置1h后的端电压值，能够作为电池在此荷电状态下的开路电压。为了提高精确度，最终的开路电压采用充电和放电静置1h后两者的电压平均值。用MATLAB对充放电平均电压值与相对应的SOC值进行拟合，得到Uocv-SOC曲线，如图3所示。

图3 开路电压UOCV随SOC变化的曲线Fig.3 The Curve of Open Circuit Voltage Uocv Versus SOC

3.2.2 电池HPPC 测试实验

为了辨识参数，需要对电池进行HPPC电流脉冲实验，根据电池常用的荷电状态，选择在SOC为（1.0～0.1）这10个点上进行，脉冲电流为±20A（1.0C），规定放电为负，充电为正。该过程为：恒流放电10s后，搁置40s，再进行恒流充电10s。然后静置1h使电池恢复到稳定状态，方可进行下一个荷电状态点的脉冲实验。实验并记录10个点处的实验数据（实验均在恒温25℃的环境下）。HPPC实验在SOC为0.8处的充放电电流曲线和相应的电压曲线图，如图4所示。

图4 电池在SOC=0.8时HPPC特性测试的电流、电压曲线Fig.4 Current and Voltage Curves of the HPPC Characteristic Test of the Battery at SOC=0.8

3.3 电池模型参数辨识

3.3.1 欧姆内阻R0

在图4的t3-t4阶段，即电池停止放电的一瞬间，观察到电压从U3到U4的一个突升现象，这个增压过程是电池欧姆内阻R0的通断造成的，通过实验数据读取U3和U4的值，脉冲电流的数值已知，故R0可通过下式计算，得到SOC为0.8时的欧姆内阻R0。

式中：I—脉冲电流，大小为20A。

参照上述方法，可得到电池在另外九个SOC点处R0的值。

3.3.2 时间常数τ1、τ2

根据图4的t4-t5阶段，即电池在放电结束后40s静置的过程中，电压值从U4增加到U5，可视为RC网络对电路的零输入响应，是电池极化效应的外在体现。τ是电池极化过程时间常数，反映端电压对加载电流的即时响应能力和过渡过程，满足：

根据RC网络零输入响应：

UP（t）、Up(0)分别为RC网络端电压、极化电容初始电压值，且UP（t）的大小随着静置的时间而变化。根据以上分析，电池在t4-t5阶段的端电压计算公式为：

UL(t)、Uocv、Up1(0)、Up2(0)、τ1、τ2为待定系数，参照HPPC在SOC为0.8处的实验数据，使用MATLAB 中的cftool工具进行数据拟合辨识，得到拟合曲线，如图5 所示。可以理解为，随着两个储存了一定电量的电容一段时间的放电，电池的端电压在缓慢上升，而电容两端的电压逐渐下降。根据拟合结果，读取参数τ1、τ2。其中R-square 为0.9974，故由此计算得到的参数值足够精确。

图5 双RC网络零输入响应拟合曲线Fig.5 Zero-Input Response Fitting Curve of Dual RC Network

3.3.3 双极化电阻Rp1、Rp2

在图4中的t2-t3阶段，电池通过恒流放电，端电压从U2逐渐下降至U3，极化电容两端的电压在不断增加，相当于电池内部对极化电容的充电，该过程为RC网络对电池内部产生的零状态响应：

电池端电压为：

τ1、τ2的值经过上一过程的计算已经得到，代入到式（9）中，此时将Rp1、Rp2视为待定系数，结合SOC为0.8时的实验数据，再用cftool拟合数据曲线，如图6所示。同理得到Rp1、Rp2的值。其中R-square达到了0.999，拟合方法相当精确。

图6 双RC网络零状态响应拟合曲线Fig.6 Zero-State Response Fitting Curve of Dual RC Network

3.3.4 双极化电容Cp1、Cp2

根据计算得到的τ1、τ2、Rp1、Rp2，利用式（5），可计算得出Cp1、Cp2的值，由此，得到了SOC 为0.8 时需要辨识的所有参数，同理可以得到在余下九个SOC 点处对应的各参数的值，如表1所示。

表1 不同SOC状态下的模型参数值Tab.1 Model Parameter Values Under Different SOC States

3.3.5 参数的多项式拟合

根据表1不同SOC 状态下的模型参数值，利用MATLAB 中的Curve Fitting，得到参数UOCV、R0、RP1、RP2、CP1、CP2随SOC变化的多项式函数关系，将各参数随SOC改变而处于动态变化的过程用函数关系式充分表达。且拟合结果显示，在多项式的阶数达到5时，拟合精度趋近于1，拟合误差可忽略不计，绘制出SOC 与模型各参数的关系曲线，如图7所示。

图7 参数R0、Rp1、Rp2、Cp1、Cp2随SOC的变化Fig.7 Parameters R0，Rp1，Rp2，Cp1，Cp2 Change with SOC

图7 中的曲线，能够直观地反映出各参数随SOC 的变化情况，可见参数具有一定的波动性，将其从固定参数设置为随SOC可变的，准确地描述了这一动态过程。观察发现，随着电池SOC的减小，阻抗值在增大，尤其在SOC小于0.1时，阻抗效应更加明显，阻值显著增大，而在大于0.1时，数值会有小幅变化，这与锂电池外部特性一致；
而容抗的表现与阻抗基本呈相反趋势，同时由于电池内部反应的复杂性，其数值也会产生一定的波动性。

4.1 搭建仿真模型

根据该变参数二阶RC电路模型的端电压计算公式与状态空间方程，即式（1）～式（3），结合充放电实验辨识出的参数随SOC变化的函数关系，用Simulink搭建仿真模型，如图8所示。

图8 二阶可变RC电池模型的SIMULINK仿真Fig.8 SIMULINK Simulation of the Second-Order Variable RC Battery Model

4.2 仿真过程与误差分析

采用恒流放电工况和HPPC 测试，通过与传统模型进行对比，结合电池放电实验的电压变化情况，来分析和验证所建立模型的准确性和精确度（以下称其为改进模型）。

其中恒流工况用0.5C（10A）大小的电流，HPPC用标准实验方法，即用1C（20A）大小的电流放电10s，然后静置40s，再用同等大小的电流充电10s。

两种工况下、两个模型对应的端电压仿真数据，分别由SIMULINK中的SIMOUT模块，导入到MATLAB工作区中，而实测端电压数据从电池测试仪搭配的BTSDA软件中读取，将仿真模型得到的端电压变化与电池实际放电过程采集的电压数据进行对比，绘制出端电压对比曲线，如图9、图10所示。

图9 恒流（10A）放电工况下的电压对比Fig.9 Voltage Comparison Under Constant Current（10A）Discharge Conditions

图10 HPPC工况下的电压对比Fig.10 Voltage Comparison Under HPPC Operating Conditions

从图9 和图10 能够看出，无论是在恒流放电工况还是在HPPC工况下，改进模型电压曲线都更加接近电池实际曲线。在恒流放电工况下，改进模型误差范围在（0～20）mV，而常规模型在（10～60）mv，平均误差分别为12.36mV和31.5mV，精度相对提高了60.76%；
对于HPPC工况，两者误差范围分别在（0～17.6）mV和（0～31.7）mV，平均误差为8.54mV和20.29mV，所建立的模型相比原常规模型电压估计精度提高了57.95%。

二阶可变RC模型在两种工况下均满足标准中对电压估计精度不大于10%的要求[10]，验证了改进模型的准确性；
而且仿真误差相对更小，模型复杂度不高，更适合模拟电池在各种工况下的实际特性，验证了改进模型的精确性和实用性。

针对传统电池模型可适用性不足的缺点，构建了二阶可变RC参数模型，该模型能够更加准确地描述电池内部双极化极化效应，模拟电池在不同状态下的真实变化特性，可以兼顾模型精度和复杂度。

利用电池充放电实验和HPPC 测试，借助MATLAB 中的cftool等工具，辨识出不同SOC下对应的模型参数值；
依据所得数据，将每个参数设置成随SOC变化的函数，使用SIMULINK搭建仿真模型；
在实验和仿真的条件下，验证了模型的可行性。

对比改进模型与传统模型之间的电压误差可以证明，所建立的磷酸铁锂电池二阶可变RC参数模型，精度显著提高。为单体电池乃至电池组的均衡与SOC估计，提供了更简单、更有效的模型依据。

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