中性笔出墨量与测试条件参数之间的数学模型构建

吴瑛戟

上海文采实业有限公司，上海 200072

自从中性笔发展以来，在其各项检测指标中出墨量一直是技术人员关注的焦点，因为出墨量的大小直接影响到书写的体验。出墨量太大或太小对书写感觉都有不利的影响。出墨量大，书写手感比较顺滑，但笔头容易积墨，书写线迹易有积墨点，字迹干燥时间相对变长，墨水消耗快。对于有些渗透性强的墨水，纸张背面易渗透墨迹，严重的会致使背面无法书写利用。出墨量太小，书写手感较涩，易造成字迹不饱满、空心，严重的甚至会断线，另外书写过程对笔头球座的磨损量也会相对较大，总体书写的体验较差。

然而要准确测试中性笔的出墨量并不是件容易的事，因为中性笔出墨量测试过程中，影响出墨量大小的因素较多。这些因素包括：书写角度、书写载荷、书写间距、书写纸性能、书写速度等。所以如何准确测定中性笔的出墨量一直是行业内专家讨论和研究的热门课题之一。从以往的研究和发表的文献来看，姚鹤忠[1-2]从圆珠笔笔头结构参数和墨水的性能参数与出墨量关系进行了研究。陈基铭[3]考虑了墨水、笔头、纸张、球珠表面的墨水层等因素，构建了墨水与笔头匹配的出墨量仿真模型，利用计算机软件进行模拟分析。王通虎等[4]研究了测试时划线间距变化对中性笔出墨量的影响。吴瑛戟[5]等从中性笔出墨量测量不确定度评定的角度研究了测试中的主要影响因素。从中性笔出墨量的研究来分析，主要集中在两个方面：一是从笔头墨水本身固有的性能出发来研究影响出墨量的规律；
二是从出墨量测试方法的角度来研究影响出墨量的规律。从已发表的文献来看，从笔头、墨水本身固有的性能出发来研究的论文较多、较完整和全面，而从测试方法的角度出发来研究并不够全面和充分。

为了系统地研究测试过程参数对中性笔出墨量测试的影响，我们对各因素进行了分析。为了使问题得到一定的简化，我们假定书写测试在恒温恒湿的状况下进行，测试环境条件：（23±2）℃，（50±5）%RH，这样我们可以忽略测试环境对测试结果的影响。另外，书写纸采用满足ISO 14145要求的书写纸。

1.1 书写间距与出墨量的关系分析

出墨量测试中，书写间距指的是书写测试时两条螺旋线之间的距离。在文献[6]中规定书写间距一般在1～5 mm之间选择。从我们平时测试中积累的经验来看，在其他条件不变的情况下，书写间距越大，测试的出墨量越大。关于出墨量与书写间距的关系，在文献[4]中有比较好的阐述。

1.2 书写纸与出墨量的关系分析

在中性笔出墨量的测试中，标准中一般推荐使用70 g/m2的书写纸。目前国际上通常使用满足ISO 14145标准的纸张，我们国内书写纸的标准为GB/T 12654，这一标准的实际指标同ISO 14145标准纸张的指标并不能很好地对应。出墨量测试中书写纸对出墨量的影响也较大，通常国产书写纸测试的出墨量较ISO 14145的纸张出墨量要大一些。部分具体的数据分析可以参阅文献[5]。

1.3 书写角度和书写载荷与出墨量的关系分析

图1是划圆书写机上笔芯和夹具的示意图。从图中来看，书写纸和笔头成θ时，实际的书写压力F，为书写载荷G（夹具和专用砝码的总重量）的一个轴向分力，大小为G。在文献[6]中，书写测试时的书写角度一般在60°～70°之间选择，推荐使用70°。随着θ角的变大，F力也逐渐增大。所以，我们在研究书写角度和书写载荷与出墨量的关系时要同时结合研究。

图1 书写机上笔芯和夹具的示意图

以上是我们对书写测试中的主要参数与出墨量测试中的一些定性分析，下面我们从书写角度和书写载荷两个因素开始进行基础建模。至于其他的如书写速度、书写纸和书写间距等对出墨量的影响，从以往测试的经验来看，我们可以通过试验，求出一个相应的系数，逐一加入到模型中。

2.1 数学建模的意义

一般来说，数学建模可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构[7]。在社会实际中的问题复杂多变，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只w用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的。数学建模就是要从众多的事物和现象中找到共同的、本质的东西，抓住问题的主要矛盾，从大量数据和定量分析中寻找并发现规律。然而，数学建模本身就是一个创造性的思维过程，需要综合运用所掌握的知识和方法，创造性地分析解决实际中的问题。数学建模有许多方法，诸如线性规划法、回归分析法、层次分析法、微分方程法、量纲分析法和集合分析法等，这里我们采用量纲分析法。

2.2 量纲分析方法

所有的物理量都是由自身的物理属性，以及由此而规定的量度单位这两个要素构成的[8]。所谓量纲就是撇开物理量量度单位的具体名称，而着重于该物理量的类别（属性）[8]。显然，量纲是物理量的实质[8]。我们采用dimA表示物理量A的量纲，通常以L代表长度量纲，M代表质量量纲，T代表时间量纲，Θ代表温度量纲。这几个为基本量纲，我们这里只需选取M、L、T为3个基本量纲，其他物理量的量纲为导出量纲。有些量是无量纲量，如圆周率π为周长与直径的比值，角度α为弧长与曲率半径的比值，这类同类量的比值都是无量纲量。任一物理量A的量纲都可用3个基本量纲的幂次形式来表示：

当用数学公式表示一个物理公式时，等号两端必须保持量纲的一致性。这种性质称为量纲齐次性原理。当方程中的各项具有相同的量纲时，这个方程被称为是量纲齐次的。也只有具有相同量纲的量才能作比较或相加、减，这是量纲分析的基础。量纲分析法是将物理量之间复杂的函数关系式，转换成一些无量纲量之间关系式的一种方法[8]。在量纲齐次原理上发展起来的量纲分析法有两种：一种称为瑞利（Rayleigh）法；
一种称为布金汉（Buckingham）定理（又称π定理）[8]。我们这里选用瑞利法。

瑞利法的基本原理是，倘若描述某一个物理现象同n个物理量有关[8]：

而其中的某一个物理量Bi可表示为其他物理量的指数乘积[8]：

写成量纲形式[8]：

将式(4)中各项物理量的量纲按式(1)表示为基本量纲的幂次乘积形式，并根据量纲齐次原理，确定a，b，…，p,就可得出表达该物理现象的方程式。

2.3 出墨量与书写角度及书写载荷之间的数学模型建立

从中性笔出墨量与测试条件参数之间的关系分析和经验判断来看，书写间距、书写纸、书写速度对出墨量的影响因素单一，但由于书写角度和书写载荷对出墨量测试的影响关系较为复杂，所以我们先固定上述其他因素，来探讨书写角度和书写载荷对出墨量的影响关系，其他因素可以在此基础上乘上对应的系数来解决。

2.3.1 条件假设和模型建立

在出墨量的测试中，我们一般以书写长度100 m的出墨量为基准，用书写前的质量同书写100 m后的质量差值作为出墨量的数值。这里用m表示百米出墨量，其单位为mg。从图1的分析可以得到，在上述其他条件固定的情况下，经分析出墨量m同书写角度θ、书写压力F(为书写载荷G的轴向分力，大小为G）、重力加速度g等相关：

我们按照瑞利法构造一个公式：

式中：

m—百米出墨量，单位mg；

m0—书写角度为θ0（书写参考角度，可以为60°～70°间的某一角度）时的百米出墨量，单位mg；

k1(θ)—书写角度为θ时的角度系数，无单位，当θ为θ0时，k1(θ0)=0；

F—书写压力，单位N；

g—重力加速度，单位m/s2。

根据图1中的分析，式（6）进一步进行演变，得到：

式中：

G—书写载荷（夹具的总重量），单位N；

m1—夹具和专用砝码的总质量，单位g；

k2(θ) —书写角度为θ时的角度系数，等于k1(θ)(sinθ)a，无单位。

下面以式（7）为研究对象，来求解式中的指数a和b。式（7）左边出墨量m的量纲dimm=M

将式（7）写成量纲形式得到：

用基本量纲的（M，L，T）表示各物理量量纲得到：

根据量纲齐次原理，得：

M：a=1

L：a+b=0

T：-2（a+b）=0

解得a=1，b=-1

所以式（7）整理后，得到：

为了进一步简化模型，根据量纲一致原则可以假设：

m0=k3m1

则可以得到：

2.3.2 模型初步分析

从得到的模型式(11)可以看出，夹具和专用砝码的总质量m1和出墨量m之间有一定的比例关系。也就是夹具和专用砝码的总质量m1固定的情况下，出墨量m会随着书写角度的变化而变化，这样的变化可以用m和m1之间的比例系数的变化来表示。再深入分析，夹具和专用砝码的总质量m1取一定的值，假定为m10，通过试验，在不同的书写角度θ，可以得到对应的出墨量m，这样我们可以得到一组k(θ)的值，记为k(θ)10。如果m1取值改变为m11，通过试验可以得到另一组k(θ)的值，记为k(θ)11。这样成功地找到了一个无量纲量k(θ)，我们可以在研究k(θ)的变化规律中得到出墨量m的变化规律，使问题研究更加简单，更加有针对性。

2.4 考虑书写间距的模型

从书写间距对出墨量的影响分析中可以得出，其影响同其他因素的关联性不大，为此我们可以在式(11)基础模型的基础上乘上一个书写间距系数Cdx来修正模型。由于基础模型是在书写间距为1 mm的状况下建立的，其书写间距系数可以记为Cd1，其值为1。我们可以利用实验求出书写间距为2 mm下出墨量（记为m2）同书写间距1 mm时的出墨量（记为m1）进行比较，得到Cd2=m2/m1。同理可以得到Cd3、Cd4和Cd5。为此，考虑书写间距的模型可以得到：

2.5 考虑书写纸的模型

从书写纸对出墨量的影响分析中可以得出，其影响同其他因素的关联性不大，为此我们可以在式(12)的基础上再乘上一个书写纸系数CpX来修正模型。由于前面的模型都是在符合ISO 14145的书写纸上建立的，其书写纸系数可以记为Cp0，其值为1。我们可以利用实验求出其他书写纸，书写间距1 mm时出墨量（记为mp1）同ISO 14145的书写纸上，书写间距1mm时的出墨量（记为m1）进行比较，得到Cp1=mp1/m1。为了求证书写纸系数Cp对书写间距的敏感性，也可以进一步试验两种书写纸下其他书写间距下的书写纸系数CpX。为此，考虑书写纸影响因素的模型可以写为：

2.6 考虑书写速度的模型

从书写速度对出墨量的影响分析中可以得出，其影响同其他因素的关联性不大，为此我们可以在式(13)的基础上再乘上一个书写速度系数CvX来修正模型。由于前面的模型书写速度都是4.5 m/min，其书写速度系数可以记为Cv0，其值为1。我们可以利用实验求出其他书写速度，书写间距1 mm时的出墨量（记为mv1）同ISO 14145的书写纸上，书写速度是4.5 m/min、书写间距1 mm时的出墨量（记为m1）进行比较，得到Cv1=mv1/m1。为此，考虑书写纸影响因素的模型可以写为：

3.1 实验方案设计

实验以670/0.5笔头、130 mm长度的某款笔芯进行试验，此款笔芯按国家标准书写长度要求大于400 m。随着书写的进行，由于笔头磨损、墨水高度下降等原因，后200 m的出墨量会有明显下降，所以这里考虑到笔芯百米出墨量的这一变化规律，实验时只考察笔芯前200 m的出墨量，以此200 m出墨量的平均值作为考察对象，设置不同的书写条件参数，考察笔芯的百米出墨量。

3.2 不同载荷与书写角度的试验

表1 不同载荷（夹具质量）与书写角度时的出墨量和k(θ)

从表1的数据以平均值来比较，不同载荷下出墨量的数值会发生改变，呈现了中间高、两头低的现象；
在载荷一定的情形下，随着书写角度的减小，出墨量有逐渐增大的趋势；
但是k(θ)1X却从大到小，跟夹具质量形成负相关的线性关系，具体见图2。

图2 不同夹具质量时的出墨量k(θ)出墨量k (θ)1X

3.3 不同书写间距的试验

为进行不同书写间距的出墨量比较，在载荷为0.993 N（夹具质量101.34 g）、书写角度为65°、书写速度为4.5 m/min的条件下进行书写间距1 mm、2 mm、3 mm、4 mm、5 mm分别进行同款笔芯前200 m出墨量的测试。具体数据见表2。

表2 不同书写间距时的出墨量和Cdx

从表2可以看出,随着书写间距的增加，出墨量有较大幅度的增大。同1 mm的书写间距比较，2 mm时出墨量增加较多;随着书写间距的进一步增加，出墨量增加幅度减小,增加的幅度在9%～12%之间。

3.4 不同书写纸的试验

为进行不同书写纸间的出墨量比较，在载荷为0.993 N（夹具质量101.34 g）、书写角度为65°、书写速度为4.5 m/min、书写间距1 mm的条件下进行不同书写纸同款笔芯前200 m出墨量的测试。具体数据见表3。从表3可以得出，两种书写纸间的出墨量差异较小，Cpx的平均值也可以取为1。

表3 不同书写纸间出墨量的比较

表3 不同书写纸间出墨量的比较

3.5 不同书写速度的试验

为进行不同书写速度的出墨量比较，在载荷为0.993 N（夹具质量101.34 g）、书写角度为65°、书写间距1 mm的条件下进行不同书写速度下的出墨量比较试验，书写速度为3.5 m/min、4.5 m/min、5.5 m/min、6.5 m/min、7.5 m/min分别进行同款笔芯前200 m出墨量的测试。具体数据见表4，书写速度与Cvx的曲线图见图3。从图3 看出，书写速度与Cvx之间呈线性负相关。经回归计算，相关系数R的绝对值为0.92，书写速度与Cvx线性相关性良好。一次线性回归方程为：

图3 不同书写速度下的Cvx

4.1 模型各系数的确定

从试验的数据分析和数学模型的各系数求解过程来看，书写角度和书写载荷系数k(θ)可以从表1中查询，或者表1中未能直接查得的，可以结合夹具质量m1通过线性插值求得。书写间距系数Cdx可以通过表2直接查得。从分析和实际的数据来看这里的书写纸系数Cpx取为1。书写速度系数Cvx可以通过式（15）进行回归计算获得。模型计算总表见表5。

表5 模型计算总表

4.2 模型的应用

对于一款中性墨水圆珠笔笔芯，在研发阶段要经过多方案、长时间的试验才能成功。这期间笔头的选型、墨水的确定、笔芯主要尺寸的确定等，都需要足够的试验。通过模型的应用，可以很好地帮助笔头和墨水的选型，可以利用模型进行不同书写条件下的结果比较、分析和预测，可以协调笔头、墨水供应商与笔芯成品生产商之间检测标准的不一致带来的矛盾。同时模型也可以指导笔芯研发人员进行快速试验，确定主要参数（如墨水量、出墨量）时提供指导和方便。但是模型应用中应该注意的是，文章中是以0.5 mm子弹头和特定墨水匹配后作为研究对象，其他的笔头和墨水的匹配模型中的系数应进行具体的试验，本文各系数请参考使用。各种不同型号的笔头因为结构参数的不同，与不同的墨水匹配后书写角度和书写载荷系数k(θ)需要重新确定，其他系数也应谨慎使用，要根据实验室实际情况通过试验验证确认。

5.1 结论

对中性笔芯出墨量测试参数的分析，运用量纲分析的方法成功构建了中性笔出墨量与测试条件参数之间的数学模型，并以0.5 mm子弹头中性笔芯为例进行了多组实际测试，求解了模型中的各个参数。从试验和模型中可以获得以下有用的结论：

（1）在载荷一定，也即夹具质量一定的情况下，出墨量随着书写角度的变化而变化，角度越小出墨量越大，这一趋势较为明显。

（3）随着书写间距的增加，出墨量增加明显，而且书写间距2 mm时比1 mm时出墨量增加的幅度比3 mm对比2 mm时的幅度更大，呈现了前大后小的现象。

（4）随着书写速度的增加，出墨量减少，两者呈现了线性负相关的关系。

5.2 展望

通过中性笔出墨量与测试条件参数之间的数学模型构建和0.5 mm子弹头笔芯的测试求解和验证，基本掌握了中性笔出墨量与测试条件参数之间的变化规律，在实际工作中可以运用模型针对实际问题进行必要的预测和求解。然而，这一模型中参数的求解是基于0.5 mm子弹头笔芯的，对于中性笔芯笔头型号众多，笔头内部结构有较大区别，而且笔头与墨水之间需要进行匹配，其匹配方式较多，因此模型使用中需要针对不同的匹配组合进行参数求解。同样也希望针对不同的匹配进行数学模型的求解，积累数据建立模型数据库，这是对中性笔书写原理的进一步研究具有重要意义的一项工作。

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