各向异性电离层中沿地磁场取向有限长柱体目标的近场散射

林朱红 顾婷婷

（1.浙大城市学院, 杭州 310015；
2.浙江大学信电学院, 杭州 310027；
3.毫米波全国重点实验室, 南京 210096）

电离层是指从离地面约50 km开始一直伸展到约1 000 km高度的地球高层大气空域[1]。由于电离层中存在相当多的自由电子和离子，其能改变无线电波的传播速度，使之发生折射、反射和散射，产生极化面的旋转和受到不同程度的吸收。根据2005年提出的国际参考电离层(International Reference Ionosphere，IRI) 参数模型，电离层中电子密度、粒子浓度等环境要素在垂直方向上，随高度发生剧烈变化。随着观察高度的增加，电离层区域可细分为D层、E层和F层等区域。其中，F区电离层主要指120 km以上直到数百甚至上千千米的区域，也是电离层散射通信的主要区域。

早在20世纪60年代前后，国外学者便展开了关于电离层中的散射理论研究，例如等离子体散射[2]、等离子鞘套散射[3-4]、层状介质体散射[5]等。国内研究机构相继出版和影印了不均匀介质中电磁波辐射、散射和绕射等系列经典专著[6-7]。近年来，甚低频(very low frequency，VLF)电磁波理论在对流层通信[8-9]、电离层调制[10]和卫星探测[11]等方面的应用地位越来越重要，国内学者和研究机构也展开了VLF电磁波在电离层中的辐射[12]和传输特性分析[13-14]以及调制激励的理论机制和计算方法研究[15-16]，但有关电离层中目标探测和VLF电磁波散射的理论分析和计算研究相对较少。尽管自由空间规则物体的电磁波散射理论已非常成熟，例如方形柱体散射[17-19]和有限长介质柱体散射[20-21]等，但由于VLF电磁波在各向异性电离层中的传播特性受到磁场强度、地磁倾角、地理纬度和太阳天顶角等多种环境因素影响[22]，其电磁散射机理研究更为复杂。采用常用的数值方法可求解不规则、不均匀散射体在复杂环境中的电磁散射问题，但缺乏物理机理的解释[23-24]。事实上，散射的本质即为二次天线辐射问题。近年来，星载VLF天线在F区电离层中的辐射特性研究得到了国内外学者的关注和认可。最新发表的各向异性电离层中VLF天线理论研究表明，电离层中的星载VLF天线能激励不同模式的表面电流[25-30]，目前已得到电离层中线天线、环天线和带状天线的表面电流分布和输入阻抗。

本文沿用文献[25-30]中的参数模型和相关表面电流公式，进一步分析各向异性电离层环境中VLF波对有限长柱体的散射作用。受地磁场的影响，电离层除了呈现明显的各向异性，还随高度、地磁倾角等因素发生变化，考虑目标的尺寸远小于电离层变化的尺度且求解范围在近区，可近似地将电离层看作各向异性等离子体构成的均匀介质空间。通过对均匀各向异性电离层中沿地磁场取向有限长柱体目标的近场散射分析，本文所提供的计算方法和数值结果为运用VLF波实现电离层中散射通信和目标探测奠定了基础。

1.1 各向异性等离子体电离层环境参数模型

如引言所述，本文将电离层近似为均匀的等离子体环境。由于受地磁场影响且在VLF频段，电离层呈各向异性，且参数随电离层高度剧烈变化。根据文献[31]提供的计算方法，复介电常数可写作如下形式：

式中：常数ε0为自由空间中的介电常数；
矩阵I和矩阵M分别为3×3单位矩阵和电极化矩阵。在不同的电离层参数下，矩阵M中各元素Mij(i，j=1, 2, 3)有不同取值(见附录1)。

若考虑电离层中柱体取向为沿地磁场方向，电极化矩阵可简化为如下形式：

式中：ν为电离层有效碰撞频率；
ω为角频率；
ω0为等离子体频率；
ωH为电子回旋频率。

式中：ne为电子密度；
me为电子质量；
e为电子电荷量；
B0为地磁场强度(通常取值为0.025～0.065 mT)。由式(3)角频率ω定义(ω=2πf)，可知等离子体电离层环境参量还与入射电磁波有关。

1.2 VLF电磁波在电离层中的散射矩阵

当VLF电磁波垂直入射(波矢量垂直于地磁场，入射角为90°，方位角为φ′=0°)金属柱体时，柱体作为散射体进行二次辐射，激励产生的散射场不会产生交叉分量。但当平面波斜入射时，入射波中的电型波和磁型波相互耦合。由于各向异性电离层的影响以及边界条件，散射电磁场将产生交叉极化分量，散射电场分量和磁场分量不再相互分离而相互关联、耦合。通过散射矩阵可知：

式中：SEE，SHH分别为电型波和磁型波散射系数；
SEH，SHE分别为电型波和磁型波交叉散射系数。

同时，平面波在任意传播方向上有两个不同极化的特征波存在，即寻常波(O波)和非寻常波(E波)。O波为倏逝波，在所有传播方向上衰减较快；
E波在不超过临界角(θ=89°)的传播方向上具有较小衰减率，两者极化关系满足如下方程[31]：

由于地磁场的影响， “地-电离层”波导和电离层呈现各向异性；
换言之，表示为张量。然而，在真实的电离层中，地磁倾角并非恒定不变的，当其变化时将变为满元素矩阵。地磁倾角变化会导致O波和E波极化不同，当地磁场方向沿z轴方向时，介电常数张量可直接写作如下[25-30]：

式中，

根据Appleton-Hartree[21]公式，E波的波数可写为

1.3 VLF电磁波在有限长金属柱体附近的散射场

有限长金属柱体放置在各向异性电离层中的模型如图1所示。VLF波矢量位于x-z平面，入射角为θ′， 方位角为φ′=0°。首先，本节讨论VLF电磁波斜入射有限长金属柱的近区散射电场和磁场分量。当VLF电磁波斜入射到有限长柱体时，在目标处的入射电场和磁场可写为

图1 有限长金属柱体放置在各向异性电离层示意图Fig.1 Physical model of a finite-length conducting cylinder in anisotropic ionosphere

式中：z′为入射点垂直分量坐标；
E0和H0分别为入射波电场和磁场幅度；
ke为入射波的波数(即E波的波数)。

1.3.1 散射场分析

考虑耦合散射场，当VLF电磁波斜入射至有限长金属柱体时，散射电场和感应电流的关系式为

而散射磁场和感应电流的关系为

式中：I(z′,φ′)为柱体表面产生的感应电流；
G(z-z′,φ-φ′)为电离层中核函数，其表达式[32]为

因此，导出如下积分方程：

1.3.2 基于MoM求解有限长金属柱表面电流分布

在柱坐标系下，根据J=n×H，可知：

当平面波斜入射柱体时，柱体表面将包含z方向的轴向电流以及φ方向的径向电流。本文考虑柱体长度远大于半径，柱体表面主要以轴向电流为主，径向电流近似均匀缓变。综合考虑径向电流和轴向电流分布特征，有限长柱体的表面电流可表示为

令[25]：

式中，ko,z,ke,z分别为轴向电流中O波和E波分量的波数，

令：

式中，Ij(z′,φ′)=IzjIφ(j=1,2,3,4,5,6)。在此情况下，式(11)和式(12)可进一步表示为：

在式(21)和式(22)的两端同时乘以Ii(z′,φ′)(i=1,2,3,4,5,6)，并对z在-h和h之间进行积分，对φ在0和2π之间进行积分，再联立式(14)定义的边界条件，可得：

式中：为入射点处的电流矢量；
为待求系数；
为6×6矩阵。

式中：下标i,j=1,2,3,4,5,6；
“T”表示矩阵的转置。

2.1 VLF电磁波在均匀等离子体中的“面元”等效理论分析

本节研究VLF电磁波斜入射位于均匀等离子体中有限长介质柱体的近区散射，如图2所示。由于介质柱体和金属柱体的边界条件不同，当平面波入射金属柱时，总场的切向分量在边界处为零。然而，当平面波入射介质柱体时，切向分量不为零，入射场和散射场的和应等于介质柱体的内部场。我们引入面等效原理，具体等效如图3所示。

图2 有限长介质柱体放置在各向异性电离层示意图Fig.2 Physical model of a finite-length dielectric cylinder in the anisotropic ionosphere

图3 面等效边界示意图Fig.3 The schematic of the field equivalent principle

假设一列平面波照射在背景介质Ω1中的目标体Ω2上，背景介质Ω1中的电磁参数为ε1和µ1，而目标体Ω2的电磁参数为ε2和µ2；
Ω1中电磁场为(E1,H1)，Ω2中的电磁场为(E2,H2)。面等效原理分为外等效与内等效两个问题。其中外等效问题求解原理为：将Ω2中的电磁场替换为零场，即Ω2中的媒质换成Ω1中的参量，同时保持Ω1中的参数不变。同理，对于内等效问题，将Ω1中的电磁场替换为零场，Ω1中的参数替换成Ω2的参数，保持Ω2中的参数不变。通过面等效原理，进而可计算近区的散射场和目标表面电流。

2.2 斜入射有限长介质柱的VLF近区散射场

假设VLF电磁波斜入射介质柱体时的入射电磁场为式(10) ，则散射电场和内部电场的表达式可写为

相应地，其散射磁场和内部磁场表达式可写为

式中：G2(z-z′,φ-φ′)为柱体内部的核函数，表达式为[16]

式中：R=[ρ′2+ρ2-2ρ′ρcos(φ-φ′)+(z-z′)2]1/2；
k2d=k02εd。由边界条件可知：

2.3 基于MoM求解有限长介质柱表面电流分布

根据等效源定义，背景介质和目标体的电流密度关系为

因此，柱体表面电流也存在如下关系：

式中：I1为柱体外表面的感应电流；
I2为柱体内表面的感应电流。

则式(25)和式(26)可进一步表示为：

在式(33)～(34)的两端同时乘以Ii(z′,φ′)(i=1,2,3,4,5,6)，并对z在-h和h之间进行积分，对φ在0和2π之间进行积分，再联立边界条件（式(28)），可得

式中，

3.1 VLF电磁波斜入射各向异性电离层中的有限长金属柱体散射特性

入射电磁波工作频率均选择为f= 12.5 kHz；
考虑金属柱体沿地磁场放置，各向异性电离层环境参数依据公式(7)定义的复介电常数；
地磁场强度为|B0| = 0.5×10-4T；
电离层中的电子密度和电子碰撞频率分别为ne= 1.4×1012m-3和ν = 103s-1。由公式(4)知：等离子体频率和磁旋频率分别为：ω0=6.6×107arcs/s，ωH=8.6×106arcs/s。

根据电型波散射系数SEE和交叉散射系数SEH的定义，图4给出了不同长度金属柱体的散射系数和交叉散射系数随入射角度的变化情况。可以看出，散射系数在数值上远大于交叉散射系数，随着入射角度增大，交叉散射系数趋于0，说明由斜入射导致的耦合散射特性在接近垂直入射方向上逐渐减弱。

图4 散射系数与交叉散射系数随入射角度的变化Fig.4 The variation of the co- and cross-polarization scattering coefficients vs.different incident angles

图5对比了各向异性电离层中有限长金属柱体归一化表面电流密度差的实部和虚部随入射角度变化情况。归一化电流密度差定义为∆I/I′=(I-I′)/I′(I表示有耦合，I′表示无耦合)。金属柱体半径1.2 m，高31 m，入射角选择θ′=45°，60°，75°。图中横坐标表示入射点位置和柱体长度的比值，纵坐标表示归一化表面电流密度差。可以看出，通过归一化电流密度差可反映柱体不同高度位置的耦合特性。耦合散射场以改变表面电流分布的方式，除了与环境参数、入射角度等相关，还与柱体形态、观测位置等因素有关。归一化电流密度差在柱体四分之一长度处达到最大值，柱体中间处呈最小值。此外，归一化电流密度差数值较小，说明耦合散射场在总场中占比小。

图5 有限长金属柱体的归一化电流密度差随入射角度的变化Fig.5 Normalized current density difference (in real and imaginary part) of a finite conducting cylinder varying with different incidence angles

3.2 VLF电磁波斜入射各向异性电离层中的有限长金属柱体与介质柱体表面电流

图6给出了斜入射(与z轴夹角依次为θ′=45°，60°，75°)和垂直入射（θ′=89°）时有限长金属柱体和介质柱体表面的电流分布计算结果。根据2.1节中的面等效理论分析，计算介质柱体的表面电流分布可类比金属柱体的情况。图6中实线和虚线分别对应表面电流的实部和虚部，纵坐标表示入射点位置和柱体长度的比值，横坐标表示表面电流幅度。入射电磁波工作频率f= 12.5 kHz；
暴露在均匀等离子体环境中的金属柱体和介质柱体半径均为1.2 m，高度31 m；
柱体介质的相对介电常数为3.25。图6(d)和图6(h)分别表示VLF电磁波垂直(z轴)入射金属和介质柱体表面的电流分布情况，金属和介质柱体的表面电流呈对称分布。图6(a)~(c)和(e)~(g) 中随着入射角度变大，表面电流分布不再对称，这是因为平面波斜入射时，波面上每一点的入射波的相位不同。此外，介质柱体的表面电流随入射角度变化规律与金属柱体几乎一致，但在幅度上略小于金属柱体。

图6 有限长柱体表面电流(实部和虚部)在不同入射角度下的分布情况Fig.6 Current distributions (in real part and imaginary part) of a finite cylinder at different incident angles

3.3 VLF电磁波垂直入射有限长金属柱体外部散射场与级数展开法验证

本节计算了不同工作频率下的VLF电磁波垂直入射有限长金属柱体的近区散射场空间分布，如图7所示。入射电磁波频率依次为f= 10 kHz，20 kHz，30 kHz，金属柱体半径为1.2 m，高度为31 m。可以看出，沿地磁场方向上传播的电磁波具有“凝聚”现象，即沿恒定磁场方向(即z方向)的电磁场远大于其他传播方向的强度。同时，E波的散射场的幅度远大于O波的场值，这也说明在近区场中E波占据主导地位。此外，由于有限长金属柱体具有“截断”效应，散射场在柱体两端幅度减小。

图7 有限长金属柱体的O波和E波近区散射场空间分布Fig.7 Spatial distribution of O- and E-wave near-field scattering from a finite length conducting cylinder

为了进一步分析和验证本文提出的利用积分方程方法计算各向异性电离层中有限长柱体散射的可行性，图8分别采用本文积分方程法和级数法计算了电磁波垂直入射同一半径、不同高度柱体时，表面电流随散射角的变化情况。在VLF频段，根据式(4)计算可知：ω≪ωH≪ω0。因此，式(8)中各参数可近似为: ε1≈ω20/ω2H；
ε2≈-ω20/(ωωH)；
ε3≈-ω20/ω2。此时，VLF波频段的电离层呈现明显的各向异性；
在高频电磁波波段，式(8)定义的等离子体参数可近似退化为各向同性的情况。图8中入射电磁波频率为f= 3 GHz，入射波垂直入射金属柱体，柱体半径为1.2 m，高度分别为31 m和42 m。根据计算结果可知，由积分方程法得到的电流分布结果逼近级数法所得到的电流分布，除了金属柱体“截断”误差，等离子体环境的各向异性特性在高频入射的情况下作用很小，这也证明本文的方法正确有效。

图8 级数法和本文积分方程法的表面电流随散射角的变化Fig.8 Comparison of surface current variation with scattering angles between the series integral equation method and the method proposed in this paper

为了研究VLF电磁波对各向异性电离层中的有限长金属和介质柱体的近场散射特性，本文分析了各向异性电离层中的散射矩阵并计算了电离层中有限长柱体的散射系数和交叉散射系数；
采用积分方程法和MoM分别推导并求解了金属和介质柱体的近区散射场和表面电流分布；
分析和计算得出了不同入射角和不同散射模式下的近场散射特性。计算结果表明：在各向异性电离层中，VLF电磁波斜入射有限长柱体会产生耦合散射。耦合散射的强度与散射系数和交叉散射系数、电离层环境参数、地磁倾角和柱体形态等相关；
表面电流分布受到电离层环境、柱体形态和入射角的影响。当入射倾角为89°，表面电流分布的形状呈现对称性。随着入射倾角的增加，表面电流产生偏移现象，且表面电流幅度随角度增加而增加。同时，介质柱体表面电流幅度略小于金属柱体表面电流幅度；
各向异性电离层中有限长柱体沿地磁场方向的近区散射场具有“凝聚”现象，同时，E波分量占据主导地位。最后，我们将本文所采用的积分方程法和级数法进行对比，验证了本文方法的正确性。本文所提到的方法和结果，有望为电离层目标探测、散射通信等提供理论依据。

附录 1 电离层中的寻常波与非寻常波

不失一般性，可将磁化等离子的介电张量写为

各元素可由麦克斯韦方程组本构关系确定得出：

本文中，考虑柱体取向选择z轴并与B0平行，因此，k矢量位于x-z平面，k与B0的夹角为θ，可简化得到如下关系：

将式(A.3)代入(A.1)可得介电张量。

展开得到k2的二次方程：

式中：

对于无损耗的各向异性介质，式(A.5)的解为

式(A.9)代表了两个独立的解，对应于能在此介质中传播的两种特征平面波，即O波和E波。接下来，本文把问题退化成特殊情况，即电磁波和外加磁场垂直，于是波动方程可表示为

显然，第一个非零解的色散特性方程为

这个特征波的磁场对外加磁场方向漂移运动的电子或离子没有任何作用。这个波通过等离子的传播与无磁化磁场时的特性完全一样，是一个纯横电磁波，称这个特征波为寻常波(O波)。

第二个非零解的色散特性方程为：

由此可见，第二个特征波是在x-y平面内椭圆极化的波，称这个波为非寻常波(E波)。

垂直于磁场传播的特征波的一些特点如下：对于O波的传播特性，由于不受磁场的任何作用，其传播特性与各向同性介质中的波完全相同。对于E波的传播特性，由于受到磁场的作用，电磁波在垂直磁场平面是椭圆极化的。由文献[6]可知，O波和E波的传播波数可表示为

在VLF频段上当沿λ实轴增加时，K+接近于一个正实数，有一个小的虚部；
而K-接近于一个正虚数，有一个小的实部。E波和O波在电离层中的衰减特性是大不相同的，E波为可传播的弱衰减波，而O波为速衰减的倏逝波。

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