立足单元教学,深度建构概念

甄荣

摘  要：在“函数的单调性”一课的教学设计中，聚焦“四基”，设计问题串，引导学生充分经历观察、分析、归纳、抽象、辨析的过程，整体把握概念本质，凸显研究内容、研究过程、思想方法和活动经验．

关键词：单元教学；
建构概念；
函数的单调性；
教学设计

一、教学内容解析

从内容来看，函数是刻画客观世界中变量关系和变化规律的工具，研究函数的规律有利于把握事物的变化规律，函数的单调性是高中阶段学生要掌握的函数的重要性质之一. 本节课的教学任务是建构函数单调性的形式化定义，并用定义证明具体函数的单调性，让学生经历从直观到抽象，从图形语言、文字语言到符号语言的转换过程，理解增函数、减函数及单调区间等概念，明白函数的单调性将自变量的变化方向和函数值的变化方向联系起来，描述了函数的变化过程和趋势.

从知识的上下位角度来看，学习函数的单调性既是学习函数的概念和表示方法等知识后的延伸与拓展，又是后续研究幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的基础，也是研究数列、不等式等问题的有力工具.

从单元教学的层序性来看，高中函数的单调性的学习分为四个层次. 第一层次，从图形语言到符号语言的过渡，理解函数的单调性的概念，体会常用逻辑用语的重要意义，会用定义证明简单函数的单调性；
第二层次，研究几种初等函数的单调性，理解用代数方法研究函数的单调性的基本思路；
第三层次，利用导数研究函数的单调性，感悟导数是研究函数的单调性的有力工具；
第四层次，利用函数的单调性研究数列、不等式、方程等问题，理解研究函数的单调性既是数学本身的需要，更是表达现实世界的需要，是构建数学模型的有效语言. 本节课的教学位于第一层次.

从蕴含的思想与方法来看，函数的单调性是函数性质研究的第1课时. 作为单元起始课，本节课的内容所渗透的研究函数性质的基本方法为研究函数的其他性质奠定认知基础和参考路径，积累经验. 单调性的定义是用静态的数学符号刻画动态函数图象在某个区间上的上升或下降的趋势，具有高度的抽象性，是培养和提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算和直观想象等素养的重要载体.

二、教学目标设置

本节课的教学目标设置如下.

（1）通过具体实例，引导学生经历从直观描述到符号表示函数的单调性的抽象过程，体会符号化定义的必要性，体会数形结合、类比、从特殊到一般等思想方法，發展直观想象、数学抽象素养.

（2）能准确说出增函数和减函数的定义，体会全称量词的作用.

（3）能用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性，发展逻辑推理、数学运算素养.

三、学生学情分析

从认知基础来看，学生在初中阶段已经学习了一次函数、二次函数和反比例函数的相关知识，高中阶段又从集合的角度系统地学习了函数的概念，对于函数的单调性已经有了“形”的直观认识，也具备了一定不等关系的符号运算能力.

从认知障碍角度来看，用符号语言表示动态的数学对象，对刚进入高中的学生而言显得很不适应，表现出认知力不够. 学生对“为何要用符号语言来表达函数的单调性”这个问题是存在困惑的.

从心理特点来看，学生对于函数的性质只有一些感性的、模糊的认识，对于一般数学意义上的描述是学生所不能的，也是迫切需要知道的. 因此，认识函数的单调性正处于学生思维的最近发展区.

从学生可能的发展角度来看，除数据分析素养外，其他数学核心素养在本节课中皆有不同程度的体现，教师帮助学生在单调性概念不同的表征系统间进行灵活转换，有助于学生良好认知结构的建构，不同程度地发展学生的数学核心素养.

四、教学重点和难点

1. 教学重点

理解函数的单调性的定义；
根据定义证明函数的单调性.

2. 教学难点

函数的单调性形式化定义的生成.

五、教学策略分析

利用现实生活中的实例，创设与函数的单调性相关的情境，引出学生将要探索的数学问题，调动学生的求知欲，带动学生的内驱力.

基于学生的思维水平和认知现状，从具体的函数出发，从正向、逆向两个方面，从证实到否定，高度重视“任意”所蕴含的逻辑要求，设计环环紧扣的问题串，从图形语言到符号语言，从定性到定量，从特殊到一般，采用启发讲授和合作交流相结合的教学方式，让学生充分经历观察、分析、归纳、抽象的思维过程，再将有雏形的函数的单调性的定义进行表达加工，形成完整准确的函数的单调性的定义. 在概念重构的过程中，加深学生对函数的单调性本质的理解. 对学生的数学眼光、数学思维、数学语言表达产生积极影响.

借助多媒体技术辅助展示抽象过程，投屏展示学生的思考结果，以及演算和证明的过程，及时反馈学生的学习情况.

六、教学过程设计

环节1：情境导入，把握方向.

情境1：一碗水中加入一定量的糖，未饱和状态下，糖加得越多，糖水越甜.

情境2：嘉峪关某天的气温变化曲线如图1所示，试根据图1说一说气温的变化情况.

学生初步感受事物的变化规律后，教师指出：现实世界是运动变化的，为了研究这些运动变化的规律，人们在数学中引入了函数，通过对函数变化规律的研究，实现对现实世界中事物运动变化规律研究的目的. 从本节课起，我们开始学习函数相关的变化规律，即函数的基本性质. 总体而言，函数的性质指的是变化中的不变性和变化中的规律性.

【设计意图】设计“糖水模型”“气温曲线”等情境，让学生顺理成章地感受到事物的运动变化趋势一般有三种情况：① 整个运动过程呈上升趋势；
② 整个运动过程呈下降趋势；
③ 整个运动过程呈时而上升时而下降趋势. 一方面，激发学生主动思考；
另一方面，让学生明白函数是描述事物变化规律的数学模型，以及研究函数性质的必要性.

环节2：直观感知，形成冲突.

活动：画出下列函数的图象，观察并说明图象有何变化趋势.

（1）[y=x+1]；
（2）[y=-2x+1]；
（3）[y=x2].

教师投屏展示学生所作的函数图象，学生逐一说明图象的变化趋势及函数值随自变量的变化情况.

【设计意图】从学生现有的知识经验入手，引导学生观察具体的函数图象，直观感受函数图象的增、减变化，体会数形结合思想，知道y随x的变化趋势与x的取值范围有关.

思考：对于函数[y=x+2x x>0，] 函数值随自变量的增大怎样变化？

学生利用描点法作图后，教师用画板工具准确作图，学生发现难以确定函数图象下降与上升分界点的确切位置.

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数的单调性虽然比较直观，但是有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的定量研究.

【设计意图】设置问题，引发认知冲突. 教师引导学生从定性描述走向定量刻画，体会“形缺数时难入微”，体会用数量大小关系严格表述函数的单调性的必要性.

环节3：抽象建构，形成概念.

问题1：对于函数y = x2，怎样用符号语言刻画“在区间[0，+∞]内，y随x的增大而增大”？

教师引导：“增大”意味着比较，需要建立两个量的大小关系.

预设：①“x的增大”的符号化为“ x1 < x2”；

②“y的增大”的符号化为“[fx1< p>

③“随”字的符号化为“当[x1

问题2：只取区间[0，+∞]内的两个确定的值x1，x2，当[x1

学生分组讨论，作图说明.

预设：学生作图情况如图2所示.

问题3：只取[0，+∞]内的三个确定的值x1，x2，x3，当[x1

问题4：取[0，+∞]内的无数个值x1，x2，x3，…，当[x1

追问：“无数个值”不行怎么办？“无数个值”和“所有的值”一样吗？“所有的值”能取完吗？怎样一一验证呢？我们之前学过表示“所有”概念的量词吗？你能借助全称量词用符号语言严格表达“在区间[0，+∞]内，y随x的增大而增大”吗？

学生得出：对于[?x1，x2∈0，+∞，] 当[x1

问题5：对于函数[fx=x2 x>0，] 任意两个值[x1，x2，] 当[0

预设：作差证明；
利用不等式的性质证明.

问题6：你能模仿上述过程，用符号语言描述在区间[-∞，0]上y随x的增大而减小吗？

教师引导学生梳理函数y = x2的单调性，如表1所示.

[区间 [-∞，0] [0，+∞] 图象特征 从左到右，图象下降 从左到右，图象上升 文字语言 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 符号语言 对[?x1，x2∈-∞，0，] 当[x1fx2] 对[?x1，x2∈0，+∞，] 当[x1

问题7：你能归纳出函数[y=fx]在区间I上单调递增的定义吗？

设D是函数[fx]的定义域，I是D的一个非空的子集. 如果不加以说明，我们认为I是个区间. 如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有[fx1

问题8：类比增函数的定义，你能给出减函数的定义吗？

如果对于区间I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有[fx1>fx2，] 就称[fx]是区间I上的减函数，也称[fx]在区间I上单调递减.

教师指出：如果函数[y=fx]在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数[y=fx]在这一区间上具有（严格的）单调性，区间I叫做函数[y=fx]的单调区间.

问题9：你能举出在整个定义域上单调递减的函数的例子吗？

预设：[y=-x，y=-x+1，y=1x]等.

针对[y=1x，] 教师引导学生根据单调减函数的定义判断其是否在整个定义域上单调递减，并提醒学生单调区间的准确表示.

【设计意图】概括是数学概念形成的重要过程. 在这个过程中，通过对实例的观察、分析、归纳、抽象，让学生亲身经历数学概念从直观到抽象、从特殊到一般、从有限到无限、从粗疏到严密的符号化过程. 概念的概括是一个逐级逐步概括、抽象的教学过程，在这个过程中设计问题串，搭建思维平台，使得学生参与概括成为可能. 虽然概括不能一步到位，但通过反复纠错、共同完善，最终得到严格的概念表述，这样的概念概括过程是自然的、鲜活的. 在这个过程中厘清了概念的本质，培养了学生思维的严谨性，优化了学生的思维品质，发展和提升了学生的数学抽象素养.

环节4：例题练习，加深理解.

例1  定义在区间[-5，5]上的函数[y=fx]的图象如图3所示，根据图象写出函数[y=fx]的单调区间，并说明在每个单调区间上[y=fx]是增函数还是减函数.

例2  根据定义，研究函数[fx=kx+b k≠0]的单调性.

教师板书示范，归纳出作差法证明函数的单调性的基本步骤：取值—作差—变形—判号—结论.

教师说明：我们在初中已经通过函数图象得到了一次函数的单调性，这里则是通过代数推理给出了严格证明.

接着，教师引导学生思考：假如任取的x1，x2满足x1 > x2，怎么判断[fx]是增函数还是减函数呢？

教师引导学生用差商模型刻画函数的单调性，如图4所示.

教师点评：函数的单调性把自变量的变化方向和函数值的变化方向联系起来，描述了函数的变化过程和趋势，是函数的最重要的特征之一. 直指函数的单调性的本质.

例3  你能用代数的方法严格证明“未饱和状态下，糖加得越多，糖水越甜”这一生活常识吗？

第一步：数学建模.

常温常压下，已知蔗糖的溶解度为210 g（在一定温度下，在100 g水中达到饱和状态时所溶解的蔗糖的质量），设水的质量为500 g，蔗糖的質量为x g，蔗糖水溶液中蔗糖的质量分数为y，则y与x之间的函数关系可以表示为：[y=x500+x，x∈0，1 050.]

第二步：证明函数[y=x500+x]是区间[0，1 050]上的增函数.

学生尝试用作差法和差商法独立完成.

【设计意图】例2引导学生对照定义研究函数的单调性. 教师小结根据定义用作差法证明函数的单调性的一般步骤，还介绍了更简明的差商法，直指函数的单调性的本质，培养学生严谨的数学推理能力和运算能力. 通过上述三道例题，让学生分别从“形”和“数”两个方面深入理解函数的单调性，使得学生的数学建模、逻辑推理、数学运算等素养得以发展.

环节5：归纳小结，积累经验.

教师引导学生小结本节课的学习历程、定义生成及应用过程.

（1）函数的单调性的定义是什么？

（2）如何用定义证明函数的单调性？

（3）得到函数的单调性定义的路径是什么？

（4）得到函数的单调性定义的过程中蕴含着什么数学思想方法？

教学路线如图5所示.

【设计意图】教师通过以上四个问题引导学生小结学习历程、定义生成及应用过程，聚焦“四基”，凸显研究内容、研究过程、思想方法和活动经验，这些经验为学生后续学习函数的其他性质提供了认知准备和思维范式，体现了单元教学的整体性.

环节6：布置作业，拓展延伸.

作业1（必做题）：证明函数[y=x+2x]在区间[0， 2]上单调递减，在区间[2，+∞]上单调递增.

作业2（选做题）：利用画板工具探究[fx1-fx2x1-x2]的大小与某区间内函数值增长快慢的关系.

【设计意图】提供问题情境，引领学生思考，凸显数形结合，为后续变化率和斜率的学习作好铺垫、积累经验.

课堂的最后，用艾滨浩斯遗忘曲线（如图6）回归到函数的性质. 让学生感受数学对生活的指导意义，让严谨的数学课堂又一次变得温暖迷人.

教学反思

1. 立足单元教学，整体建构概念

统揽全局，将“函数的单调性”教学的每一步、每个环节都放到整个单元中去考量，让后续奇偶性和周期性等函数性质的学习变成概念建构的同构活动，充分体现思想方法和数学观念的一致性，凸显教学的整体性.

2. 精心设计问题，发展核心素养

立足学生的学情，创设有梯度、有过渡的问题串开展问题导向教学活动，自然生成函数单调性的概念，引发学生共鸣，提升思维质量，发展核心素养.

3. 围绕现实生活，创设问题情境

本节课从实际生活出发，原本设计了糖水模型、李白《将进酒》诗句、气温曲线等问题情境，引导学生体会函数是描述事物运动变化规律的数学模型，进而研究变化中的不变性和规律性的价值，感悟用数学的眼光观察世界. 但在实际教学中，发现情境引入环节用时较多，且《将进酒》中的名句“君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪”这一情境与其他两个情境的作用有所重叠，故结合展示中专家的点评，删除了《将进酒》相关情境. 在课堂的最后，作为用定义法证明函数单调性的应用，证明“未饱和状态下，糖加得越多，糖水越甜”这一生活常识，呼应情境，唤醒了学生的应用意识，提升了学生用数学语言表达现实世界的能力．

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］章建跃. 高中数学教科书教学设计与指导（必修第一册）［M］. 上海：华东师范大学出版社，2022.

［4］张治才. 基于主题教学理念的数学概念教学：以“函数的单调性”概念教学为例［J］. 中国数学教育（高中版），2020（1 / 2）：44-48.

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