数学课堂教学中大概念、大问题的运用研究

潘小明

(泰州学院 数理学院， 江苏 泰州 225300)

为深入了解大问题、大概念在数学课堂教学中运用的现状，笔者于2019—2021年带领江苏省“青蓝工程”优秀数学教育教学团队对J省19所中小学进行了实地调研，从中发现了大问题、大概念在数学课堂教学运用中所存在的一些问题。以教学问题解决为目标，研究团队与中小学合作开展了行动研究，联系案例审视了大概念、大问题的教学价值及其在数学课堂教学中的协同运用，提出了大概念、大问题在数学课堂教学中协同运用的有关建议。

(一)教师的教缺少应有的深度与有效性

尽管有一些学校已经组织了与大概念有关的数学教研活动，并邀请了校外专家面向校内教师开展了有关的专题讲座，但是由于许多教师对自己所教学科的内容缺少系统、整体的深入理解，在实际的课堂教学过程中并未能有效使用那些具有核心或包容性的大概念引导学生的数学思维，不当的教学方式常常将学生的数学活动引向表层的数学思考或机械式的问题解决。课堂观摩表明，从数学知识学习到数学认知建构，不少教师没有能实现其作为教学“指导者”“引导者”的价值，特别是不能给学生予以精准、有效的数学深度学习指导。有不少教师迷信于教学的“大容量”“快节奏”，课前不注意对所教内容进行深度挖掘，课堂上教师讲得多，学生收获少。由于对所教的内容缺少“长时间有深度的思考”，不少教师在许多称之为“探究类”“问题解决类”的数学活动中并没有能将相应的数学教学活动形成联结较为密切的结构。

有许多教师为了赶教学进度，设计并使用了外观较为精美的多媒体数学教学课件，由于这些课件主要用于定义、命题、数学题目与问题解答的呈现，所以很容易形成一些不正常的教学常态——表面上的课堂教学进度、效率得到了提升，但是学生对知识的理解不够深入，实质的收获、效益不断降低。

(二)学生的学缺少大概念整合、大问题探究的意识

在对某校初二年级学生的调研中，有近1/5的学生不能深入地理解所学数学内容的本质特征，不能建立所学内容和数学素养之间的有意义连接，不能从整体上掌握所学数学知识的结构或脉络，不能从思想、方法、联结和应用等不同层次对所学内容进行更深入的分析和思考。在对某校初三年级学生的调研中，有近2/9的学生未能形成体现深刻性、广阔性、批判性、灵活性、敏捷性、创新性和反思性的高阶思维，未能形成数学学习内在的兴趣和积极性。就整体而言，所调研学校的学生还没有能较好地达成数学课程标准中预设核心素养培养目标。

访谈表明，学生普遍存在着不能结合日常学习构建单元数学知识中核心概念的现象。尽管有不少学生呈现了一定的问题意识，但普遍缺少大问题的意识。在某一单元学习结束之后，有1/3的学生不能及时进行所学数学知识的梳理整合。由于缺少启发性数学问题的引领，加之数学课堂教学情境本身的单一，有许多学生虽然表面上学过了相关的数学知识，但是测试表明他们的学习无论过程还是结果都具有很大的惰性，许多属于必备的知识与技能不达标，所学数学知识在新的数学情境中迁移应用不畅。

(三)高观点指导没有实现预期的教学改革效果

为了解决现实中存在的问题，有一些被调研的学校曾积极倡导并践行了“高观点的数学教育教学指导”，取得了一定的教学效果，不过，教学改革成效离预期的理想状态还有很大的差距。但这并不意味着当初开展“高观点指导”教学实践思路的不正确。许多学校在开展“高观点指导”教学实践研究时，曾组织过论证，也确认过“高观点指导”教学的合理性，并明确提出了相关的理论基础。比如，有学校教研组曾组织教师学习讨论了F·克莱因《高观点下的初等数学》的部分内容，访谈中许多教师也能谈论并认可书中诸如“观点越高事物就越显得简单”“认识数学思想对于自然科学及现代文化的重大意义”等观点[1]。那么，为什么有许多学校在落实“高观点指导数学教育教学”时并未能取得预期理想的效果呢？一个可能的原因是，教师对于高观点指导教学理论的“信奉”与高观点指导教学理论的“实践”有着很大的差距。例如，有一些学校的教师坦言，高观点并非是一种显性的存在，学校要求自己“高屋建瓴地审视数学教材”“找到相关内容背后深刻的数学观念”“揭示所教内容与特定领域现代数学内容之间的一致性、和谐性”实在做不到。有一些学校的数学教师认为“说说可以，能不能做是另一回事”。有一些学校的教师认为应当注意F·克莱因《高观点下的初等数学》一书中诸如“学校里的讲授应当顾及学生的心理，不应只讲究系统”等观点[2]，不能片面理解“高观点指导教学”。有一些学校的教师认为，即使学校开设过“高观点指导中小学数学教学”的讲座，大多数教师仍难以掌握专家口中所说的高观点、大观念、大问题、大单元。

有一些学校虽然重视了“高观点指导数学教学”，但是在具体的数学教学实践中却把“原本非常有意义的高观点指导”异化为“知识超前性的学习”“知识超纲性的学习”“课程教学内容修补式的调整”，并因此导致了数学课堂教学中非常现实的“不恰当”“负迁移”等行为。也有一些学校请校内外的专家对数学教师用高观点指导的课堂教学进行了把关，但是由于相关专家的“力道不够”“理实分离”、相关干预没有“对症施策”，特别是没能找到导致高观点指导教学“效果不佳”“方法不恰当”“负迁移”的真正原因，所以专家的教学介入也没有能真正有效地激发学生或教师在高观点指导数学教学活动中应有的主体性。从总体上看，许多学校由专家介入形成的一些教学指导、课堂干预显得非常被动或者无力。比如，有的专家只是在课程教学实施之前给一些准备参加教学比赛或上示范课、观摩课的教师提供一些感性的建议，打一些听起来“似乎很合理且面面俱到”的“预防针”，提醒教师哪些内容“不应讲”“需要略讲”，有的专家只是当参加教改实验的教师产生了显著不良的教学效果后才进行正式的教学指导或干预，介入的目的主要是对有问题的老师进行必要的“纠偏”“补救”。

用高观点指导中小学虽然有很好的教学价值，但是由于没有将教师高深的数学知识与教学用的数学知识进行教学法的对接，知识的学术形态未能有效地向知识的教学形态转换，所以在实践中很容易形成进退两难的困境。如何改变呢？一个可行做法是借鉴“高观点指导”的教学思想，在数学概念、数学问题的引入、分析上下功夫。事实上，在数学教学活动中如果“抓不住关键思想以及不能将大概念与相关内容知识‘联系起来’，留给我们的就只是一些零碎的、无用的知识，不能起到任何作用”[3]，只有抓住数学活动中的大概念、大问题，“高观点指导”才能接到数学课堂的“地气”，数学课堂的教与学才可能改变结构上的“碎片化”、难度上的“随意化”、手段上的“无效化”，并因此取得真正的高品质数学教育和学生的持续进步。

(一)应重视大概念的教学运用

之所以强调大概念的教学运用，是因为大概念是将许多数学知识联系为一个整体的核心。例如，由于函数是“从一些其他的量经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他想象到的运算而得到的”[4]，能具体、生动地反映了现实或理念世界中量的变化动态，表示变化着量与量之间的相依关系，所以函数会具有不同于一般数学概念的特征，即它作为一种数学关系或者数学模型，具有很强的包容性、概括性，能将许多数学知识联结为一个整体。就初中的数学教学而言，函数可很好地联结着代数式、方程、不等式等数学知识，在教学中要避免从形式上掌握函数的概念或者形式化地讲解一次函数、二次函数、反比例函数等具体的函数(包括它们的图像和性质)，而是从“函数”这一大概念、大主题的视角分析分散于不同年级、不同单元、不同课时的教学内容，引导学生用联系和发展的眼光考察特定的数学对象，探究并理解包含于相关的变化规律以及蕴含于其中的对应关系，弄清函数概念背后的“思想”“方法”“模型”，用“函数思想”“函数模型”等观念统摄与“数与代数”领域中相关的数学知识，帮助学生将所学的数学知识系统化、结构化。

在数学教学中，大概念处于上位、中心、深层的位置，是“少而重要”“强而有力”“可普遍迁移”的数学知识或数学观念。合理利用大概念可以促进学生数学思维的发展。以初一上学期的数学教学为例，代数式不仅构成了“函数”“方程”等大概念的基础，而且本身构成了初一数学学习中一个关键性的数学概念。这是因为，代数式内容的学习不仅关涉学生符号意识的建立以及数学思维上由算式到代数的过渡，而且关涉学生数学表达、数学思考和后续数学学习基础的夯实。为了揭示“代数式”这一大概念的内涵以及与其相关的概念及性质，数学教学中要借助现实情境引导学生了解代数式，引导学生借助观察、类比、归纳、抽象等方法寻探代数式的意义，结合具体问题中简单数量关系的分析，学会用代数式进行表示，通过列代数式、对代数式进行变形、转化、求值等活动帮助学生构建基于“代数式”大概念的数学思维，建立整式、分式、根式、合并同类项、因式分解等概念与代数式的关系，并因此更深入地理解数与量之间、量与量之间、式与式之间的关系。

对学生而言，经由数学课堂教学会获得一定的知识或信息，将它们组织成概念性的框架有利于在更大范围内实现特定主题知识学习的迁移，基于大概念进行数学教学的组织可以让学生更好地聚焦所学习的数学知识，发挥大概念在数学认知中的核心统帅作用。仍以初中代数式为例，由于代数式不仅是一种把未知当成已知的符号化数学活动，而且是利用这种符号化活动进行未知数求解的数学方法，所以在小学阶段学过的结合律、交换律和分配律等与数的运算律有关的规则都可以迁移到代数式的学习中，并因此建构基于“代数式”这一新对象、新情境的数学运算律，对后续学习产生“知识拓展”“结论运用”“代数推理”等多方面的积极影响。

对数学教师而言，大概念不仅有利于教师把握并因此突出数学课程与教学在内容维度的“重点”，而且有利于教师关注数学教学内容内部的“连贯性”和培养学习对象思维上的“严谨性”。比如，尽管广大初中数学教师能认识到函数的内容贯穿于整个中小学的数学教学，在初中引导学生学好函数这一大概念，可以更连贯性、更严谨地理解中小学的数学内容，但是，函数教学价值的存在性并不能自动转化函数教学实践的有效性。由于函数这一大概念的学习离不开变量这一基本概念的理解，并且变量这一概念又是一个具有辩证性的概念，所以为了有效实现函数教学预设的目标，就应当自觉地关注学生数学思维的辩证性水平。

重视大概念在数学教学中的运用是国内外数学课程与教学改革的一个重要趋势。美国《学校数学原则和标准》(NCTM，2000)曾强调“教师要能够理解数学学科大概念，并能将数学表示为一个连贯而相互联系的整体”[5]。我国2022年颁布的《义务教育数学课程标准》(以下简称课标)指出：“为实现核心素养导向的教学目标，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联。”“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”“强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构。”“探索大单元教学，积极开展跨学科的主题式学习和项目式学习等综合性教学活动。”[6]根据课标，大概念是将核心素养目标具化为课堂教学目标的重要抓手，数学教师不仅要学会提取出特定内容中的核心概念，而且要学会建立不同核心概念之间的联系，形成大观念，基于大观念提出引导性的数学问题，设计具有思维挑战性的数学认知任务，引导学生在任务探究中学会更有效地建构数学知识、更深入地理解数学知识、更具创造性运用数学知识。

(二)应重视大问题的教学运用

就问题对于数学学科的认识论意义、方法论意义和价值论意义而言，大数学家希尔伯特曾经指出“一门学科如果能不断提出问题，那它就充满活力”[7]，对于数学学科而言，问题是促使数学作为学科深入发展的原动力，是数学的心脏，是呈现数学思想、数学方法等数学大概念的最好载体。

就问题对于教学的价值而言，由于数学课堂教学本质上也是一个发现、提出、分析和解决问题的数学活动过程，所以问题对于数学教学具有内在的教育教学价值，它不仅培养并强化了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的意识和能力，而且通过相关意识和能力的培养，强化了学生的数学抽象、数学运算、数学推理，发展了学生的几何直观、空间观念、数据意识、模型意识、应用意识和创新意识，这事实上也就达到了学生核心素养培养的目标。由于学生对于数学问题进行求解的过程也是建立相关数学概念、数学命题或者运用、检验所学知识的过程，所以通过数学问题可以辨别、发现更为一般性的数学知识，揭示相关数学对象外部的特征或数学活动内部的规律，这在本质上就有利于数学大概念的提炼、发展与运用。

之所以强调大问题对数学课堂教学的引领作用，另一个非常重要的原因是大问题本身的特殊性并因此产生认识论、方法论和价值论的意义。尽管问题对数学学科与数学教学都具有十分重要的认识论意义、方法论意义和价值论意义，但是封闭、细小或碎片化的一般问题对整体的数学认知来说又具有十分明显的局限性。相对于数学活动中问题真伪的判别，探索者在数学活动中很容易迷失对于问题本质、要点或根本的分析，常会因拘泥于细节和单个的结点而导致数学活动中的“见树木不见森林”，探究者缺少数学探究、数学发现应有的格局，学习效果不理想。事实上，许多学习主体经由数学问题解决的学习常常满足于具体结论的获得或者停留于表面的操作性程序，而非由“程序”向“观念”提升以及由“表层性观念”向“结构性观念”跃变。类似的情况反映到数学教学活动中就形成了数学问题解决教学的局限性，即相关的问题对于学生数学深度学习的影响不够，特别是不利于学生对于相关数学主题、序列或数学化过程中大概念的建立，有些教师对学生数学概念的建构虽然提出了许多问题，但是问题对于整体性和有深度的数学学习而言却不是一种恰当，尤其是不能成为有较高教学思维价值的“引领性问题”。

较之于一般的问题，数学课程教学中的大问题有着自身的内涵。一方面，这种问题通常超越了单一性的课时学习或局部性的数学认知，是在更大范围进行教学内容分析、知识序列梳理、大概念聚焦和数学思考拓展的结果，是有其自身特质的真问题。另一方面，这种问题更多的是有着或线性化、或网络化、或层次性等关系的结构问题，不仅具有整体的挑战性和系统的启思性，与特定的知识单元具有自然的契合性，与特定的知识序列或数学大概念具有紧密的关联性，统领着特定领域的数学教学内容，而且能构成学生数学思维展开的主线或数学活动探究的主题，更合理地揭示了特定数学知识的内在本质，更精准地指向了数学活动中核心素养的育人目标。

(三)在教学中要注意大概念、大问题的协同运用

数学教育教学的本质既不是教师给学生传授了多少具体的数学知识，也不是让学生做了多少道数学题目，而是通过有效的引领、引导，让学生探究或习得核心的数学概念、数学原理。根据荷兰数学家弗赖登塔尔的现实数学教育主张，师生在数学学习活动中应通过积极的“再创造”和深入的“反思”，揭示数学活动中的大概念和有价值的大问题，并因此彰显数学教师有指导的数学教学法加工的价值。为了凸显数学教育教学本质，数学教育教学不仅离不开问题，而且离不开大问题以及大问题与大概念的协同运用。在数学教学活动中，没有大问题就没有更加系统、深入的数学思考、整体思维，也就没有数学知识整体性的建构与拓展。

为了构建数学的大概念，数学教育教学需要重视大问题的引领。大问题与大概念如影随形、相伴相生，数学教学中的大问题促使了数学教学中大概念的形成与发展，数学教学中的大概念锚定了数学教学中大问题的分析与求解。大问题与大概念在数学知识建构、数学实践拓展的活动中两者互为机制，构成了数学教育教学中核心素养培养的重要价值取向和具体目标落实的关键机制。究其根本，大问题与大概念内在的整合性、贯通性、建构性、统摄力、组织力、迁移力与当下核心素养培养的目标与要求具有较好的适应性和匹配度。以大问题、大概念为引领的数学教学不仅突出了数学教学的知识序列、关键主题，而且驱动了学习者对于数学知识的结构化思考，驱动了数学教学活动的组织者、主导者更理性地确定数学教学的主线、脉络，有利于学与教的主体能结合特定的数学教学主题更精准地确定以核心素养为导向的教学目标、教学内容。

(一)明晰大概念对应的大问题及问题求解的过程性要求

以“三角形全等判定”的教学为例，为帮助学生形成“三角形全等判定”大概念，教师需引导学生思考“全等判定”及其对应的大问题，然后再具体地思考“三角形全等判定”所对应的数学问题，结合学生关于“全等判定”的数学现实形成要探究的数学问题。把问题简单化，可结合生活中的实际思考如何“制作两面形状相同与大小一致的三角形锦旗”“配制两块形状相同与大小一致的三角形玻璃”？深入到数学化的条件，需进一步思考，根据一个对应边或一个对应角的条件能不能判断？根据两个对应边或两个对应角的条件能不能判断？是不是一定需要三个对应的条件才能判断？在什么情况下有两个条件就可以判断？

从“三角形全等判定”的教学案例中可发现，为了在数学教学中实现大问题与大概念的协同运用，教师需在提炼数学大概念的基础上，聚焦大概念对应的大问题，并将目标问题进行必要的细化分解。从教学设计的角度分析，只有真正弄清楚了大概念对应的大问题，才能思考如何创设更加合适、更加有效的问题情境，才能以问题求解为目标导向设计一系列有深度的数学思维活动，才能将大问题与大概念的协同运用有效落实到特定主题的教学活动设计与课堂教学展开之中。

(二)协同运用大问题、大概念需强化真问题的意识

与数学大概念相对应的数学大问题是教学形态的真问题而非教学形态的伪问题。所谓教学形态的真问题，是指能促使学生在数学活动中大概念得以建构、显化或数学命题得以进入探究视野、被发现的问题，是对于数学教学活动具有启动、引导和维持的原始问题。与此相对，教学形态的伪问题是指对学生而言没有数学概念建构意义、数学思维发展价值、脱离常识或者歪曲地反映了数学实践活动的问题。

有教师为了引入“变化率”这一数学概念，在教学中创设了与“气球膨胀”相关的问题：某人向气球中吹气时发现气球在慢慢地膨胀着，试探求气球的半径增加一定的量后，气球的体积会相应地增加多少。从教学角度来审视，这一问题就属于一个伪问题。一方面，气球是一个非标准的球，其体积计算本身是一个比较复杂的数学问题；
另一方面，在现实生活中很难有人在吹气球时关心气球体积精准性的量变。

数学教学中强化学生真问题的意识既不意味着问题仅仅由教师提出，也不意味着问题仅仅由学生提出，而是强调师生基于大概念的问题互动。为此，既需鼓励学生基于深刻的数学理解和实践反思进行有效的提问，又要重视教师对于学生所提问题的引导、启发，重视“学生问题提出、问题探究”与“教师问题引领、概念聚焦”之间的互动与平衡，注意以大问题提炼、大概念聚焦为导向进行教法学法的选择、思维过程的暴露、认知结构的优化和知识本质的透视。

(三)协同运用大问题、大概念需发挥不同类别问题的作用

对此，不仅要发挥本原性大问题的作用，而且也要发挥派生性大问题的作用。所谓本原性大问题是指促使包括数学大概念在内的不同层次数学知识得到创建、演变、复合、重组、转化、衍生、拓展、群落化、体系化的根源性数学问题。所谓派生性大问题是指由已经知道或被明确提出的数学问题根据逻辑演绎、推理或自然导出产生的问题。

在初中“统计调查”这一主题的教学中，与学生有关的运动项目以及运动成绩的数据就可设计为统计调查活动中的本原性真问题。通过研究与学生运动有关的数据，学生不仅可评价当前中小学学生的健康状况，而且可为相关比赛中参赛选手的选拔提升决策依据。在此基础上，师生可进一步派生出“如何进行既科学又高效的调查?”“如何设计有价值的调查问卷?”“开展相关调查最关键的因素是什么？”“调查多少个对象比较合适?”“如何保证抽样中具有相等的可能性?”“如何结合所设计的调查方案，从数学角度界定调查中所涉及的对象？”“如何给自己确认的调查方法进行数学化的界定?”等问题。前后联系起来看，这些本原性或派生性的问题不仅具有整体性，而且具有连续性，学生通过这些问题可有效探析抽样调查、全面调查等数学方法以及不同方法之间的逻辑关系，教师通过这些真问题可驱动学生体会诸如“数据收集与分析”“总体与样本”“抽样与随机性”等数学思想方法。

再以微积分的教学为例进行说明。在数学史上，紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里德(Euclid)几何之后，全部数学中的一个最大的创造[8]，微积分作为一个数学大概念不仅是以数学化的方式对连续变化进行深刻理解的重要工具，而且也是在理解与掌握了“无穷”这一数学知识之后创建的一套计算方法。如何才能让学生经由数学课堂教学活动深刻地理解并掌握微积分这一大概念呢？教师在教学法加工过程中需要关注微积分作为一个“创造”的哪些内容呢？相应的创造有哪些必要的形成过程？历史上那些伟大的数学家在相关数学活动中思考并希望得到解决的基本问题是什么？顺着这一思路，就不难看到微积分与如下4个基本问题紧密相关，即：怎样求曲线的切线？怎样计算“直线x=a，x=b，y=0，以及曲线y=f(x)所围曲面图形”的面积？如何计算物体在某个位置上的速度、加速度？如何找出最优解——函数的最大值或最小值问题？正是这些问题构成了微积分这一数学大概念产生的本原性数学大问题。

派生性大问题对于学生“微积分”大概念的建立也有着重要的作用。历史上，阿基米德(Archimedes)“逼近法”算出了球的表面积、球的体积以及抛物线、椭圆的面积。但是，人们在当时能够真正精准计算出面积的曲边图形并不多。由此，在形成“微积分”“不定积分”“定积分”等本原性数学问题之后，“如何计算一个具体函数的定积分”就成为一个“曲边图形面积计算”紧密相关的派生性问题。这一问题将人们的算法思维由特殊曲边图形面积的求解扩展到了一般曲边图形面积的求解。那么，面积的求解是否已经完全解决了呢？显然不是。这是因为，尽管从理论说是可以借助定积分这一概念进行所给曲边图形面积的求解，不过在实际进行的定积分计算通常较烦琐，问题求解者会遇到许多难以克服的困难。由此，也导致了学习者对不定积分概念产生再审视的要求，把问题求解者的思维导向定积分与被积函数原函数或者不定积分之间联系的讨论。后者的一个重要贡献就是导致了微积分基本定理即牛顿-莱布尼兹公式的出现。

(四)协同运用大问题、大概念重在协同的基础上突出运用

大问题、大概念在数学课堂教学中的协同是指围绕核心素养育人目标落实，用大概念驱动大问题，让大问题成为构架大概念与关键概念相互联系的桥梁，将抽象性、启思性、统摄性的大问题转化为具有内在逻辑关联的数学活动问题链，通过大问题引发关键概念学习[9]，强调师生在数学活动中的相互协作以及大概念与大问题的相互配合，并由此实现大概念、大问题在数学课堂教学运用中的合目的性与合规律性。大问题、大概念在协同基础上的运用是指通过合理、有效的运用，强化数学课堂教学活动中问题与概念的互动与协进，促进思维与知识之间的联结与整合。大问题、大概念在协同基础上的运用既是为了加深学生对于大问题与大概念本身的理解与运用，也是为了检验学生基于大问题与大概念所建构数学知识的掌握程度和所建构数学能力的迁移水平。

以初中函数知识学习中大问题与大概念的协同运用为例，在初一时，教师要引导学生直观地认识、分析变量的概念，根据函数图像分析出实际问题中变量的信息，基于变量的概念获得变量依存关系的感性认识，发现变量之间的变化规律，在此基础上归纳、概括出了函数定义。在初二时，教师要引导学生对函数的图像和性质进行初步探究，结合函数图像分析简单实际问题中的函数关系，初步推测相关变量的变化趋势，初步掌握函数研究的一些基本方法。在初三时，教师要引导学生根据图像对一次函数、二次函数、反比例函数及其交点问题进行讨论，强调研究交点的实际意义，同时将所学函数知识运用到几何图形变换、相似分析、最值求解等问题。在这一系列的数学活动过程中，学生不仅在概念、图像、性质等方面对函数数学知识进行了建构，根据函数图像对一次函数和二元一次方程之间关系、二次函数与一元二次方程之间关系进行了解释，利用二次函数图像对一元二次方程近似解进行了探求，而且借助于所建构的函数知识和函数观念解决了一些简单的实际问题，增强了函数思想与方法的应用意识。为进一步突出函数的应用，在后续的学习中可进一步引导学生通过函数图像获取并分析信息，用函数观点研究与方程、不等式等有关的大概念、大问题，运用函数性质解决一些具有综合性或跨学科的问题，从中进一步拓展函数大概念的应用，建构用函数思想解决不同类别数学问题的具体方法或策略。▲

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