基于图像识别的单摆法测量液体黏度

黄浩博,徐 强

(西安电子科技大学 a.微电子学院；
b.物理学院，陕西 西安 710000)

黏度又称为内摩擦系数，是分子相互扩散作用的宏观表征，反映了液体剪切面间相对运动时的内摩擦力，对工业、医疗等领域中湍流相关的研究有重要意义. 传统的黏度测量方法具有较大的局限性. 例如，落球法只能适用于低雷诺数情况下的透明液体[1]；
毛细管法对环境要求高，受温度影响大，且毛细管容易堵塞[2]；
旋转法所需实验仪器复杂，测量精度难以得到保障[3]；
单摆法的实验原理明确、现象清晰，通过记录摆球到达最大摆幅的间隔时间与最大摆幅的衰减因子来计算黏度，但测量精度较低[4-5]. 随着科技的发展，许多设备都逐渐电子化，不仅上述的实验方案中引入了电子设备[6-8]，还出现了很多新型测量方法，例如用扭摆的强迫振动运动和电子设备的监控来计算系统内的损耗，从而测量黏度[9]；
集成霍尔开关传感器液体黏度测定[10]；
通过布里渊散射来测量黏度等[11-12]. 本文在单摆法测量黏度的基础上[13]，基于液体中小球运动学方程的动力学模型，通过拉普拉斯变换及其逆变换，推导出任意阻尼情况下的单摆运动方程，通过图像捕捉技术测量得到大量数据，对数据预处理后，采用双平方权重算法对数据进行最小二乘法拟合，快速剔除异常点，得到液体黏度.

对于在流体中做钟摆运动的物体，其运动可以用以下力学方程来描述[14]：

(1)

在确保物体在垂直转轴的二维平面运动的情况下，式(1)，可以简化为

(2)

在流体中运动的物体所受阻力与雷诺数有关.例如，当雷诺数较低时，阻力是关于速度的线性函数，即F=-γv，其中γ与物体材质、形状以及液体的黏度有关；
在高雷诺数的情况下，阻力与速度的平方相关，即F=kv2，其中k与物体的材质和形状有关[15].

假设摆球密度为ρ，半径为r，体积为V，置于密度为ρa的液体中，此时摆球受到悬线的张力T、重力G、浮力f和流体阻力F的作用.

假设初始时刻摆球悬线与铅垂线夹角为θ(摆线在平衡位置右侧时角位移为正)，由转动定理可得：

(3)

若摆动角度很小，则有sinθ≈θ;假设球面理想光滑，并且液体满足广延条件，根据斯托克斯公式有：γ=6πηr.式(3)可化简为

(4)

利用拉普拉斯变换及其逆变换可以得到方程的解析解为

(5)

而在实际测量过程中，主要误差来自液体的体积并非无限大，从而存在湍流现象，导致式(3)中液体阻力的描述存在偏差.

考虑非广延条件引起的湍流，球体在管道中运动，其斯托克斯公式的修正形式如下[8]：

(6)

其中，R为管道的半径，H为管道的深度.

几何对称的圆管的约束比长方体更容易考虑，采用上述管性修正系数对方程进行修正，最终得到:

(7)

在本次实验中，选取最大摆幅的2倍作为管长，摆动起始点距离水面的高度作为管道半径.

2.1 实验装置

如图1所示，在0.4 m×0.12 m×0.3 m的亚克力槽上放置金属横杠作为转轴.将钓鱼线穿过不锈钢小球(半径为r=1.5 cm，质量m=14 g)的上端，并将钓鱼线两端系在转轴两侧，从而形成双摆线结构，使得摆球只能绕转轴平面运动，避免了摆球沿转轴方向上晃动.

图1 实验装置示意图

摄像机的摄影头垂直摆球运动平面，将摆线上靠近转轴的点进行标记并作为观察点，计算该点到转轴的垂直距离，并将其作为实际摆线长度，本实验中摆线长度l=15 cm. 随后加入体积分数为70%的甘油，使摆球在靠近板壁时处于液体平面下.

实验证明，甘油的阻尼属于小阻尼，因此在实验中，式(4)的解析解应为

(8)

在后续处理中，将式(8)作为拟合对象.

2.2 实验步骤以及数据的测量

1)在实验开始前，利用电子温度计测量液体温度.

2)将摆球从槽壁处释放并开启图像传感器，获得图像数据.

3)测量液体温度，并与开始温度取平均值作为实验温度.

4)利用图像捕捉工具(例如Track)，对观察点的坐标进行捕捉，如图2所示.从左往右，原始图像依次经过剪裁、色度调整并约束了自动捕捉范围，每次实验获得近400组数据.

图2 利用图像捕捉工具得到观察点的坐标

5)重复实验，至少重复4次.

3.1 黏度的计算

考虑初始释放时给球体带来的摆动，以及在低速情况下由于空间有限而存在湍流，使得球体转动导致摆球的运动并不理想，因此需要对数据进行截取.观察图3可以发现，x-t曲线基本平滑，而y-t图像畸变现象明显.这是由于在y轴方向上运动幅度小，非理想因素被显著体现.以y-t图像作为参照，可以直观地判断出摆动前的1.5 s左右，非理想因素的干扰十分严重.

(a)横坐标

选取时间在[2，4]区间的数据进行分析，共得到234组点. 部分数据如表1所示.

表1 测量数据

平衡时的横坐标为x0=0.030 35 m，有：

(9)

结合式(8)和式(9),所需要拟合的方程为

(10)

考虑到(x-x0)/l≪1，式(10)可以近似为

(11)

利用所测量的数据对式(11)进行5个参量的方程拟合.由于衰减振动的衰减系数以及衰减周期是实验测量中2个重要的参量，设定B与C为优先度最高的参量，进行求解非线性的最小二乘法拟合.

在拟合过程中，考虑到实验中的非理想因素，所测得的数据可以认为是服从偏离实际曲线的高斯分布.为了滤除异常点，采用双平方的稳健最小二乘法，最终得到的方程解为

x(t)=0.161 2e-0.675tsin (3.632t-2.011)-0.167,

(12)

其相关系数R2=0.997 8.拟合曲线如图4所示，数据处理残差图如图5所示，可以看到运动开始阶段与结束阶段残差变化幅度大，非理想因素干扰强.

图4 拟合曲线与测量数据

图5 数据处理残差图

重复上述过程4次，测得B的实验数据分别为0.666,0.684,0.606,0.624.代入式(4)并取平均值，计算得到η=0.023 280 N/m.

3.2 不确定度计算

根据式(7)，不确定度的计算公式为：

(13)

其中，ΔB为通过拟合，即计算测量值与预测值之间的偏离值得到,因此令ΔB/B=1-R2,其他值容易获得，利用式(13)得到Δη=0.000 181 N/m.

故实验测得体积分数为70%的甘油黏度为η=(0.023 3±0.000 2) N/m.

本文提出了基于运动视频图像处理改进测量黏度的方法，利用图像传感器记录摆球运动并提取摆球运动数据. 基于液体中小球运动学方程的动力学模型，通过拉普拉斯变换及其逆变换，求解了考虑液体阻力的单摆运动方程，通过双平方权重的最小二乘法对动力学方程进行了拟合，剔除了异常点，最终得到稳定的方程解，代入测量数据得到了待测液体的黏度. 该方法对液体的性质要求低，可以广泛用于不同液体的黏度测量.

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