柔性机械臂系统双时标模型的H∞鲁棒控制

顾振宇，李斌

（1.永城职业学院，河南 永城 476600；
2.东莞职业技术学院，广东 东莞 523808）

与传统刚性机械臂相比，柔性机械臂具有能耗低、响应快、轻质高效、负载比高等诸多优点。但是柔性机械臂在大范围运动时会发生弹性变形振动，这种高频振动会极大影响机械臂末端执行器的定位精度，从而影响柔性机械臂的生产精度，严重时导致任务无法完成[1]。因此研究柔性机械臂的控制问题具有重要的实际意义。

柔性机械臂控制的基础是建模，柔性机械臂控制研究包括模型建立和控制策略两个方面。柔性机械臂建模方法包括集中质量法、有限段法、有限元法及假设模态法等。集中质量法也称为质量−弹簧法，也即将柔性机械臂等效为质量快与弹簧的结合体，但是文献[2]研究表明，质量法的建模精度难以满足需求。有限段法建模思想为，将柔性机械臂分解为多个刚性段，刚性段之间使用轻质弹簧连接。有限元法是使用有限个自由度单元的组合体描述整体系统，模型精度与离散化程度有关。文献[3]通过对臂架结构离散化，大型柔性起重臂的有限元格式，实验验证了模型的准确性。假设模态法以Rayleigh−Ritz法为基础，使用有限维模态叠加估计系统整体模态。在柔性机械臂控制方面，主要包括PID控制、模糊控制、滑模控制等方法。PID控制是工程上应用最为广泛的控制策略，文献[4]针对柔性空间机械臂的不稳定性，提出了自校正PID控制算法，实现了柔性空间机械臂的镇定控制。模糊控制将专家语言转化为控制策略，能够很好地解决无模型系统的控制问题。文献[5]将粒子群算法应用于模糊PID控制器，实现了模糊域的智能优化，有效抑制了机械臂自由端的振动。滑模控制具有较强的鲁棒性，但是存在抖振问题。文献[6]针对时滞柔性机械臂的强非线性、扰动、未建模动态等问题，设计了鲁棒自适应控制器，仿真验证了该方法的有效性。

除此之外，柔性机械臂控制还有针对快慢变子系统的组合控制器。文献[7]将使用摄动法将柔性机械臂分解为快变子系统和慢变子系统，慢变子系统设计了带观测器的自适应滑模控制方法，快变子系统设计了鲁棒滑模控制，实现验证了该方法具有较好的鲁棒性。

上述研究成果在各自设置的场景下取得了较好的控制效果，但是模型和参数不确定性对系统影响的考虑较少，因此针对模型和参数不确定情况下的鲁棒控制器展开研究。研究了柔性机械臂模型不确定情况下的控制问题，建立了柔性机械臂的双时标模型，设计了自适应滑模−H∞组合控制器，将该组合控制器应用于柔性机械臂系统控制，达到了减小柔性机械臂振动、实现精确控制的目的。

2.1 柔性机械臂动力学模型

以单连杆柔性机械臂为例对建模使用的参数进行介绍，如图1所示。图中坐标系Oxy为连杆坐标系，Ox轴与连杆底部相切，Oy轴与Ox轴垂直，Ox0y0为初始时刻连杆坐标系。w(x，t)为t时刻与O点距离x位置（点P）的弹性位移，θ为等效刚性连杆的关节角位移，ψ(x，t)为t时刻与O点距离x位置（点P）的角位移，JL为转动惯量，τ为关节的驱动力矩。

图1 柔性机械臂系统Fig.1 Flexible Manipulator System

首先作出以下假设：（1）机械臂长细比较大，此时仅考虑弯曲变形而忽略剪切变形；
（2）将末端负载视为质点。在以上前提下，将机械臂等效为Euler−Bernoulli梁，根据假设模态法，弹性位移w(x,t)可描述为：

式中：n—振动模态最大阶数；
qi(t)—i阶模态坐标；
ϕi(x)—i阶模态振型函数。使用边界条件可对式（1）进行求解［8］。

基于式（1）给定的弹性位移量，计算机械臂系统的动能和势能，而后使用拉格朗日法建立柔性机械臂系统的动力学模型，为：

式中：M(q)—广义惯性矩阵；
q=[θ，q1，q2，…，qn]T—选择的状态向量；
H()—哥氏力和离心力的耦合矩阵；
C—广义阻尼矩阵；
K—广义刚度矩阵；
τ—施加的力矩。

2.2 双时标模型

将式（2）中的刚性运动和柔性运动进行区分，描述为：

柔性机械臂的刚性运动和柔性运动频率差极大，表现出明显的双时标特性。使用奇异摄动法［9］将柔性机械臂系统分为快时变子系统和慢时变子系统，引入摄动因子μ=1，其中λ一般取机械臂最小刚度系数，则定义新变量Ks=μK、z=qnμ。首先对式（3）左乘N，而后将新变量代入，得：

小参数μ使奇异摄动方程在快变量中显示边界层现象，将模型进行奇异分解，可以分别得到快时变子系统和慢时变子系统模型。令μ=0得到慢时变子系统模型为：

式中：下标s—慢时变子系统；
τs—慢时变子系统控制量。

将式（5）代入到式（3）中，得到慢时标子系统模型为：

式中：下标f—快时变子系统；
τf—快时变子系统控制量。

式（5）、式（7）为柔性机械臂系统的双时标模型，慢时变子系统控制量τs和快时变子系统控制量τf叠加即可得到柔性机械臂系统控制量τ为：

为了实现对柔性机械臂的精确控制，减小柔性机械臂在工作过程中的振动，设计了滑模−鲁棒控制器。对于慢时变子系统，设计了自适应幂次滑模控制；
对于快时变子系统，设计了H∞鲁棒控制。

3.1 慢时变子系统控制器设计

3.1.1 趋近律设计

为了确保系统状态处于滑模面s=0时，状态离开滑模面的速度为0，即=0；
同时为了减弱符号函数sgn()引起的抖振，使用饱和函数代替符号函数，为：

式中：sat()—饱和函数，定义为：

式中：Δ—滑模边界层，一般取Δ=50。

3.1.2 滑模面设计及稳定性分析

定义柔性机械臂刚性运动的转角跟踪误差为：

式中：e(t)—转角跟踪误差；
θd(t)—期望的角位移。

选择状态量x1=e(t),x2=(t)，则慢时变子系统的状态空间方程为：

滑模面设计为：

将式（13）、式（14）代入到式（9）中，得到自适应幂次滑模控制律为：

定义Lyapunov函数为：

结合式（16）、式（17），并由Lyapunov 稳定性定理可知，基于自适应幂次趋近律滑模变结构的机械臂慢时变子系统控制是稳定的。

3.2 快时变子系统控制器设计

3.2.1 系统不确定性描述

式中：A—状态转移矩阵；
B—控制矩阵。

柔性机械臂的各阶模态参数无法精确获得，同时存在阻尼不确定性和附加干扰，考虑以上因素，柔性机械臂快时变子系统的状态方程改写为：

式中：ΔA、ΔB—参数不确定摄动矩阵，这里设定为范数有界；
d—扰动；
D11—输出扰动矩阵；
Cs—阻尼矩阵。

不失一般性，可以将参数摄动矩阵分解为适当维数的矩阵，即：

式中：S、E1、E2—实数矩阵，反应了参数不确定性对系统影响；
F—Lebesgue可测的不确定常数矩阵，且有FTF≤I。

将式（20）代入到式（19）中，得到状态空间方程为：

3.2.2 H∞鲁棒控制设计

对于式（19）、式（21）所示的不确定系统，设计一个状态反馈控制器τf=Kx，则闭环传递函数改写为：

若状态反馈增益K满足：（1）闭环系统稳定；
（2）闭环传递函数Tw(s)的H∞范数小于1（即‖Tw(s) ‖<1），则状态反馈控制器τf=Kx为H∞鲁棒控制。

定理1：对于不确定系统式（19），若存在对称正定矩阵X、矩阵Y及常数λ>0，满足矩阵不等式，如下：

则H∞鲁棒控制器一定存在，且反馈增益为K=YX−1。此定理详细证明过程可参考文献[11]。

因H∞鲁棒控制要求较为苛刻，一般求取状态反馈γ次优H∞鲁棒控制，即要求闭环传递函数满足：

γ次优H∞鲁棒控制存在的证明过程与H∞鲁棒控制证明过程一致，这里不再赘述。γ次优H∞鲁棒控制的反馈增益依然为K=YX−1。

3.3 综合控制律

结合3.1节和3.2节，得到快变子系统和慢变子系统的组合控制律τ为：

综合以上分析和设计，得到柔性机械臂双时标模型下的组合控制器框图，如图2所示。

图2 组合控制框图Fig.2 Combined Control Block Diagram

4.1 自适应滑模控制效果验证

设置柔性机械臂结构参数，如表1所示。

表1 机械臂结构参数Tab.1 Structure Parameters of the Manipulator

首先将机械臂视为刚性机械臂，不加入弹性振动。为了验证自适应滑模控制的控制效果，将其与传统幂次趋近律滑模控制的控制结果进行对比。自适应滑模控制参数设置为：k=6、c=10，传统幂次滑模控制参数k、c设置与此一致，另外α=0.8。给定机械臂一个阶跃输入，使其转动1rad，自适应滑模控制和传统幂次趋近律滑模控制的跟踪结果，如图3所示。

图3 两种滑模控制效果Fig.3 Effect of the Two Sliding Mode

由图3可以看出，传统幂次滑模控制的抖振时间较长，经过约1.48s能够精确跟踪阶跃输入，最大超调量达到了32.2%；
自适应滑模控制的抖振时间较短，经过约0.32s就能够精确跟踪输入信号，最大超调量仅为12.2%。以上数据表明，自适应滑模控制不仅使调节时间大大缩短，而且抖振幅度也大大减小。这是因为传统幂次滑模控制在系统状态接近滑模面时，状态的趋近速度极小，大大影响滑模控制器的调节时间，且符号函数的硬切换方式使抖振幅度较大。而自适应滑模控制的幂次随状态值自适应调整，当状态接近滑模面时使用极小的幂次，使状态能够维持较大的趋近速度。且饱和函数的软切换方式，使得滑模控制的抖振幅度较小。

综合以上分析和图3可以看出，自适应幂次滑模控制具有较短的调节时间和较小的抖振幅度。与改进前相比。针对慢时变子系统的自适应滑模控制具有一定的优越性。

4.2 综合控制器验证

将机械臂视为柔性机械臂，对机械臂施加组合控制。式（20）中的模型不确定参数设置为：

矩阵不等式中参数设置为：λ1=λ2=5，γ=10。则使用Mat⁃lab中的LMI工具箱求得H∞鲁棒控制的反馈增益为：

将此基于H∞鲁棒的组合控制与文献［12］中基于LQR的组合控制器进行比较，控制过程为使柔性机械臂由0rad转动到1rad。则两种组合控制器对标称系统和不确定系统的控制效果，如图4、图5所示。图4和图5中标称系统是指参数不变化的系统，不确定系统是指参数不确定系统，纵坐标‖q‖表示振动模态位移欧式范数。

图4 文献[12]组合控制器Fig.4 Combined Controller in Essay[12]

图5 H∞组合控制器Fig.5 H∞Combined Controller

分析图4、图5可以得出以下结论：（1）在两种组合控制器的控制作用下，不确定系统的振动模态幅值均大于标称系统，说明参数不确定性对控制器的控制性能具有较大影响；
（2）使用LQR组合控制器时，标称系统和不确定系统的高频振动模态幅值均较大，说明LQR组合控制器对抑制柔性机械臂抖振的能力有限；
（3）使用H∞组合控制器时，标称系统和不确定系统的振动模态幅值较小，且经过0.1s调节后机械臂振动模态幅值几乎为0，说明系统对标称系统和不确定系统均具有较好的控制效果，H∞控制器具有较好的鲁棒性；
（4）从振动模态幅值上看，基于LQR 组合控制时，不确定系统的振动模态幅值最大为0.034rad，标称系统的振动模态幅值最大为0.013rad；
基于H∞组合控制时，不确定系统的振动模态幅值最大为0.027rad，标称系统的振动模态幅值最大为0.010rad，以上数据表明H∞组合控制抑制柔性机械臂振动的效果好于LQR组合控制。H∞组合控制效果好于LQR组合控制是因为H∞控制具有较强的鲁棒性，可以较好地解决参数不确定问题。

这里研究了柔性机械臂的控制问题，建立了柔性机械臂的双时标模型，设计了自适应滑模—H∞组合控制器。经仿真验证得出以下结论：（1）对于刚性机械臂阶跃输入，自适应滑模控制的调节时间和超调量均小于传统幂次滑模控制；
（2）H∞组合控制器具有较好的鲁棒性，对标称系统和不确定系统的控制效果均优于LQR组合控制器。

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