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关注高考数学新题型“多选题”之导数部分

江苏省外国语学校(215100)何 慧

高考数学选择题出现新题型“多选题”,这比以前的“单选题”增加了难度,不便于直接运用排除法迅速获解。基于此,笔者对导数部分“多选题”进行归类解析,以便学生熟悉新题型,增强解题体验,不断积累解题经验。

[例1](多选题)(2021 年北京师大附中期中考试试题)下列函数中,存在极值点的是( )。

对于选项B,函数y=根据指数函数的图像与性质,当x<0 时,函数y=2|x|单调递减,当x>0 时,函数y=2|x|单调递增,所以函数y=2|x|在x=0处取得极小值。

对于选项C,函数y=−2x3−x,则y′=−6x2−1 <0,所以函数y=−2x3−x在R 上单调递减,没有极值点。

综上,应选B,D,E。

评注:一般地,分析f(x)是否存在极值点,不是考查方程f′(x)=0是否有解,而是考查导函数在某点附近左右两侧的单调性是否相反,即考查导函数是否存在变号零点。

[例2](多选题)(2021 年山东省日照实验高级中学阶段性考试试题)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图1 所示,以下命题错误的是( )。

图1

A.−3是函数y=f(x)的极值点

B.−1是函数y=f(x)的最小值点

C.y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增

D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零

解析:根据导函数的图像可知,当x∈(−∞,−3)时,f′(x) <0,在x∈(−3,1)时,f′(x) >0,所以函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减,在(−3,1)上单调递增,则x=−3是函数y=f(x)的极值点。

因为函数y=f(x)在(−3,1)上单调递增,所以−1不是函数y=f(x)的最小值点。

因为函数y=f(x)在x=0 处的导数大于0,所以y=f(x)在x=0处切线的斜率大于0。

综上,命题错误的选项为B,D。

评注:以图为载体考查导数的应用,解题切入点是认真观察图形特点。

[例3](多选题)(2020 年山东省泰安第二中学月 考题)设f′(x)为函数f(x)的导函数,已知

评注:本题还可以灵活运用特例法获解。取适合题意的函数f(x)=2,则易知A,B 错误,又多选,故选C,D。

[例5](多选题)(2021 年北京师大附中试题)设函数f(x)=

则函数g(x)(即xf(x))在()1,+∞上单调递增,在(0,1)上单调递减。故函数g(x)(即xf(x))的极小值为g(1)=f(1)=故选A,B,C。

评注:本题的解题关键是准确分析函数xf(x)的单调性和极值,从而需要考虑导数的运算法则。对题设条件x2f′(x)+xf(x)=lnx进行适当变形,有利于问题的分析与求解。,则下列说法正确的是( )。

A.f(x)定义域是(0,+∞)

B.x∈(0,1)时,f(x)图像位于x轴下方

C.f(x)存在单调递增区间

D.f(x)有且仅有两个极值点

E.f(x)在区间(1,2)上有最大值

[例4](多选题)(2020 年山东省济南市章丘区试题)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x),且(x+1)f′(x)−f(x)

因为(x+1)f′(x)−f(x)g(2)>g(3),整理得2f(2)−3f(1) <5,f(3)−2f(1) <7,故A错误,C正确。

据此可知,f(x)存在单调递增区间,故选项C正确;
f(x)有且仅有1 个极小值点,故选项D 不正确;
f(x)在区间(1,2)上先减后增,没有最大值,所以选项E不正确。

综上,应选B,C。

评注:本题还可以借助数形结合法加以巧解。先根据导数分析函数的性质,再画出函数的大致图像,最后观察图像即可确定结论。

[例6](多选题)(2020 年山东省枣庄市高三训练题)关于函数f(x)=+lnx,下列判断正确的是( )。

A.x=2是f(x)的极大值点

B.函数y=f(x)−x有且只有1个零点

C.存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立

D.对任意两个正实数x1,x2,且x2>x1,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4

设函数h(x)=x−xlnx−4(x>0),则h′(x)=−lnx,易知函数h(x) 在(0,1) 上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x) ≤h(1)=−3 <0,g′(x) <0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减。又当x→+∞时,g(x)>0且g(x) →0,所以根据(∗)式可得k≤0,这显然与k为正实数矛盾。故不存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立,故选项C错误。

(4)由(1)知,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,x=2 是f(x)的极小值点。由于任意两个正实数x1,x2,且x2>x1,f(x1)=f(x2),故0

由于t>1,则tlnt>0,故证2t2−2 −4tlnt>0(t>1()∗∗)。

综上,应选B,D。

评注:本题设计较好,侧重考查由导数知识求解函数的极值点、零点问题以及函数与不等式的综合问题,其中选项C,D 难度较大,对学生分析与解决问题的能力有较好的考查。

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