探究“发现法”解题的运用

李赢

“一听就会，一做就错”是现代中学生的通病，如何培养学生的解题能力，化被动为主动，把知识不仅仅是听会，而是转化为自己内在的本领，这是一个较复杂的问题。数学中常用的思想方法有很多种，他是对数学内容的一种本质上的认识，是一种需要长期积累和大量练习后总结归纳出的一种隐性知识，需要教师精心设计内容和例题，学生通过反复练习才能有所收获。让学生在获取知识的同时自己发现问题并解决问题，往往比教师单一讲授更有效果，在教学过程中让学生体会“发现法”的运用，经常会起到事半功倍的效果。下面就教学中几个实例分析一下“发现法”在解题中的运用。

一、数学思想的发现

从题目的结构特征出发，揭示问题的实质和内在联系，挖掘隐含条件，应用函数与方程的思想，恰当地构造函数，应用其性质解题，根据题目的特点，抓住关键变量和关系，构造方程进行求解。在选择、填空等小题的解答中，数形结合思想发挥了其优越的特性，既节约了解题时间，还能起到事半功倍的效果。数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，数形分离万事休。以数解形式解析几何问题的主线，以形助数是函数问题的良策。有时一个问题很大，整体看时无从下手，这时将问题分类讨论，各个击破，从而最终解决整个问题，这时分类讨论思想的重要体现。见到陌生问题先不要着急，将陌生转化为熟知，化繁为简，才能使问题简单化。转化思想与化归思想的目的都是将复杂问题简单化，将陌生问题熟悉化，最终将问题化为易解决的基本问题。在解题前先发现问题的本质，发现其使用的思想方法，是解题的基本脉络。

二、数学方法的发现

在解题中，数学方法也很重要。比如在考察三视图的问题时，要求同学们的空间想象能力，应用正确的数学方法，才能把空间图形转化为平面图形，借助三视图为载体，考察对空间几何体的认识，进而考察学生分析问题、解决问题的能力，对分类思想、数形结合思想、阅读能力和推理能力，都有较高的要求。在解答多变元问题时，很多同学不知该从何下手，无处落笔。那么到底该如何解决呢？消元和减元应该是首选的数学方法。通过这种方法，能使问题方向明确，思路清晰，解法明朗。通过和积转化法、赋值法、整体变换法，将其中一个变量看为主元，其他变量看成常数，这样就能是问题中只有一个变量为主元，从而将问题化难为易。挖掘隐含条件，也可以将题目巧妙的解决出来。平时还可以多研究一些竞赛题，将其重要的和常用的结论推广，在一些小题上也可以进行秒杀。有些不等式问题，从正面入手直接证明，往往会很棘手，这时若从他的反面去想，观察不等式的結构特征和实质，将题目中要证明的结论当做已知条件，依托数学关系去题目中寻找条件，构造一种新的数学模型，往往会找到入手方向，执果索因，对培养学生分析问题解决问题都有很大帮助。

三、解题思维的发现

培养学生数学思维能力，是素质教育的目的之一。解决习题不仅能帮助学生复习巩固所学知识，还能培养学生的数学思维。教学中不仅教给学生解题的方法，还要启发学生积极的思维，激发学生学习热情。例如在教授椭圆及其标准方程一课时，学生自己总结椭圆的定义是很不容易的，这时通过数学实验及多媒体的演示，让学生发现图形的规律，进而总结得出定义。画图的过程中，哪些量一直保持不变？

根据图形生成过程，怎么归纳椭圆的定义？预习中发现学生对定义的理解不透彻，所以提出两个问题帮助学生分析两个字母所代表的含义，为下面探寻定义的条件和推导标准方程做铺垫，便于学生在图形的生成过程中找到等量关系，总结归纳出椭圆的定义，实现教学目标。形成变化中的不变性的正确世界观，培养数学抽象的核心素养。得到定义后怎么用方程表示，提出问题求曲线方程步骤？如何建立恰当的坐标系？点的坐标怎么表示？等量关系是什么？问题层层递进，便于学生思考时有方向、有入手点，运用旧知生成新知，使知识之间相互联系，前后呼应。由例一提供了运算方面的支持，使难度降低，突破了难点，实现教学目标。将复杂的几何问题转化成代数问题，体现转化思想。例题一来源于课后习题，目的是为了让学生熟悉定义的数学表达形式，而且通过三个不同的2a的值，明确a与c大小不同时得到的图形是不同的，从而将定义完善。学生分组讨论，有的用定义画图解决，有的推导方程，体现数形结合思想。让学生区分焦点在不同坐标轴上时方程的不同形式。根据例题二，已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点，求它的标准方程。经过前面的练习，学生大多都会用定义法求出标准方程，再提出问题：还有没有其他求方程的办法？给出求方程的另一种常用方法--待定系数法，学生讨论两种方法的内容和使用条件，总结规律。体现一题多解思想。   一题多变满足不同问题需求，做到习题设置量少、精深、面广。课堂检测判断下列方程哪个能表示椭圆？对学生提问检测，如果第一组完成较容易，直接给出第二组练习;如果第一组完成较困难，则直接给出课堂检测二求焦点坐标，继续认识a，b，c.把第二组当做例题为学生详细讲解。巩固椭圆标准方程的应用，深化对方程的理解，由浅入深，难度适中。归纳方法，形成技能。通过备选习题：
2010年10月26日，嫦娥二号卫星成功实现第二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约15km，远月点高度约100km，以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道。已知月球半径3475km，求卫星运行的轨迹方程。书后的习题改编，求嫦娥二号卫星绕月球运动的轨迹方程，这个改编是为了将题目融入实际背景，让学生感受数学与生活的联系，提高学习兴趣，培养学生数学建模和数学抽象的学科素养。与预习题前后呼应。课后作业设计意图是对所学知识的巩固练习，目的是熟练掌握定义和方程，渗透焦点三角形的性质，要求全体学生独立完成。预习下节课内容，有准备有针对有目的上课。

通过“发现法”的教学，培养学生解题能力，将数学知识融会贯通，由此及彼，达到举一反三的目的，是学生能够更好的学习数学、学懂数学、学会数学。2614236B-8787-4A54-A146-DE4403708938

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