判断函数奇偶性的三种途径

王世辉

奇偶性是函数的重要性质之一.有关函数奇偶性问题的常见命题形式有：（1）根据函数的解析式，判断函数的奇偶性；
（2）根据函数的奇偶性，求参数的取值范围；
（3）根据函数的奇偶性，求函数的值；
等等.其中，判断函数的单调性问题侧重于考查函数奇偶性的定义、简单基本函数的性质和图象.下面，结合实例，重点谈一谈如何判断函数的奇偶性.

一、根据函数奇偶性的定义判断

定义法是判断函数奇偶性的基本方法，也是比较常用的方法.若一个函数的定义域关于原点对称，即可令 x =- x，求得 f（-x）的表达式，若 f（- x）=f（x），那么就可以判定该函数f（x）是偶函数；
若 f（- x）=-f（x），就可以判定该函数为奇函数.

例1.判断函数 f（x）=|x +1|-|x -1|的奇偶性.

该函数的定义域为 R，所以函数的定义域关于原点对称，将 f（-x）的表达式进行化简，并与 f（x）、- f（x）相比较，即可根据函数奇偶性的定义得出结论.值得注意的非奇非偶函數的定义域不关于原点对称.

二、根据函数的性质判断

函数的性质有很多，如（1）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
（2）奇函数+奇函数=奇函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数+偶函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=偶函数.在判断函数的奇偶性时，可巧妙运用简单基本函数的这些性质来判断函数的奇偶性.也可先根据题意，将函数式进行合理的拆分，将其化为两个函数的和、差、积、商；
再根据简单基本函数的这些性质来判断函数的奇偶性.

例2.已知 g（x）为偶函数，试判断 f（x）= g（x）?的奇偶性.

将函数式 f（x）看成定义域相同的两个函数 g（x）与 f（x）的积，并分别判断出这两个函数的奇偶性，便可根据函数的性质：偶函数×偶函数=偶函数，判断出 f（x）的奇偶性.

三、根据函数的图象判断

根据函数图象的对称性可以出判断函数的奇偶性.首先根据已知的函数解析式画出函数的图象；
然后仔细观察函数在原点左右两部分的图象、在 y 轴左右两部分图象的特点，并作出判断.图象法较为简单、直观，解题的关键在于根据题意画出正确的函数图象.在解题时，根据已知的函数解析式画出函数的图象，观察图形的特点，就可以判断出函数的奇偶性.

例3.请判断分段函数 f（x）=〈的奇偶性.

解：分别作出函数在 x >0和 x <0时的图象，如图所示.通过观察图象可知：该函数关于 y 轴对称，所以该函数是偶函数.

对于一些较为复杂的复合函数和抽象函数，我们很难画出其图象，那么此时就无法根据函数的图象判断出函数的单调性，可见，图象法的适用范围较小，往往只能用来解答较简单的函数以及分段函数的奇偶性问题.

值得说明的是，第二种途径主要适用于解答由几个简单函数复合而成的函数问题，第三种途径适用于求解能够画出函数图象的问题，而第一种途径的适用范围就较为广泛，对于大部分的函数奇偶性问题，都可以通过该途径进行求解.（作者单位：江苏省射阳县高级中学）

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