活性粒子在障碍物周围的集聚行为

杨 艾，龚书楠，王向红，何林李

(温州大学数理学院，浙江温州 325035)

活性粒子能够从环境中获取能量，使自身远离平衡状态[1]．活性粒子的行为只能在非平衡物理的框架内解释和理解，它们为非平衡态体系提供了理想的模型系统．近年来，活性粒子作为一种通用的模型系统得到了广泛研究，主要集中在聚类[2]、群聚[3]以及复杂的涡旋或湍流[4]方面．研究已经证明静态约束可以稳定这些结构，并且积累和引导活性颗粒[5]．Kaiser等[6]通过将楔形障碍物固定在活性粒子溶液中，改变障碍物张角大小，发现障碍物对活性粒子的捕获呈现出部分捕获、完全捕获和没有捕获三种状态，并且障碍物需要具备一个尖锐的顶角，才能快速地捕获活性粒子．基于之前的结果，Kaiser等[7]用移动的陷阱捕获活性粒子，通过改变陷阱的拖拽速度来选择性捕获活性粒子．除此之外，Deblais等[8]提出一种新的系统，即能够自我振动和移动的杆状机器人被限制在圆形的活动场所，由于机器人与圆形场所之间的相互作用导致团簇的形成，通过使用可以变形并且可以自由移动的活动场所，诱导团簇定向移动．Galajda等[9]在实验中通过将荧光标记的细菌暴露在“漏斗形”开口的微型墙壁附近，发现微型墙壁充当着一个“泵”的作用，可以聚集细菌．尽管现在对活性粒子研究已经取得一些显著的成果，但是在未来的几十年中活性物质领域还是面临着各种开放性挑战．

本研究专注于障碍物对活性粒子的捕获．一个V形障碍物被固定在二维平面内，活性粒子在低雷诺数溶液中运动．有限边界的存在可以诱导活性颗粒的集聚行为，这些活性颗粒表现出形成群体的强烈倾向，从而诱发集体的自我捕获．它们的自我捕获是一种集体的非平衡效应，这与由于外力作用而形成捕获是不同的．通过改变障碍物的角度、活性粒子的密度以及对比不同形状的障碍物下活性粒子的集聚行为，来研究障碍物的捕获状态．

模型由N个随机分布的杆状粒子和一个硬质的V形障碍物组成[10-11]，模拟计算时采用了约化单位σ．每个杆状粒子的长度l =1σ，宽度d =0.5σ，由三个沿粒子的轴向等距离s=0.25σ分布的珠子组成[12]．障碍物由89个珠子组成，每个珠子质心的距离S=0.25σ，两边的边长L=10σ，宽度D=0.5σ，V形障碍物的位置在模拟过程中保持不变．如图1所示，黑色箭头表示自推进粒子的运动方向，黄色粒子表示棒状活性粒子，其中头部被标记成红色．障碍物顶角θ的变化范围为0°―180°．活性粒子被随机放置在大小为80σ×80σ具有周期性边界条件的盒子中，活性粒子密度ρ=(N×Sp)/Ssys，其中N表示系统中活性粒子的总数，Sp=d2(1+π/4)表示每个活性粒子的面积，Ssys表示模拟盒子的总面积．可以通过改变活性粒子数量来控制体系的密度．

图1 活性粒子与障碍物的简单模型

为避免不同粒子之间的相互重叠，采用了纯排斥的截断位移Lennard-Jones势能[13]：

其中R表示两类粒子之间（活性粒子与活性粒子，活性粒子与障碍物）的距离，REV表示粒子的直径，RC表示粒子之间的截断半径，ε=1kBT，其中kB为玻尔兹曼常数，T为体系的温度．

考虑到活性粒子是在低雷诺系数的溶液中运动，其平移速度vi和加速度ωi（i=1,2,…,N）的运动方程如下所示[14]：

在我们的模拟中，翻滚概率λ= 0.1，并且σ=m∥=f0=kBT= 1．活性粒子的翻滚概率从模拟开始就存在，所有的结果都是通过足够的样本取平均得到．整个体系的模拟中时长超过了3.5×107步长，一个时间步长Δt= 10-4τ，时间单位τ=(ε / mσ2)0.5．

2.1 障碍物顶角对活性粒子行为的影响

由于障碍物边界的约束，活性粒子表现出集体行为，聚集在障碍物尖端并形成团簇．定义障碍物对活性粒子的捕获率P=n / N，其中n是被捕获活性粒子的数量，N是体系中所有的活性粒子的数量．对体系中所有活性粒子的速度进行统计，发现其速度主要分布在被捕速度vcaptured=0.055τ/σ和自由速度vfree= 1.0τ/σ附近，如图2所示．临界速度v*= (vcaptured+ vfree)/2，当活性粒子的实际速度v小于临界速度v*，并且至少持续t*=2.5×105个时间步长，这些粒子我们就定义它被障碍物所捕获．

图2 活性粒子速度的概率分布图（θ = 90°，ρ = 0.02）

如图3所示，我们画出了捕获率P随障碍物顶角θ变化的曲线，定义V形障碍物内面积Sin=1/2(L2×sinθ)，其中L为V形障碍物对应的边长，此时活性粒子密度ρ= 0.02，V形障碍物三角形内面积Sin= 48.75σ2．从图3可以发现，捕获率随着障碍物顶角增加先增大后减小，在临界顶角θ*=80°达到最大值．顶角可以促进活性粒子被快速捕获，随着θ增加，更多的粒子聚集在障碍物的内部．当θ> 80°时顶角逐渐变钝，对于较大的θ，由于顶角太宽以至于无法捕获大部分粒子．随着角度增大，出现三种非平衡态：部分捕获、完全捕获和没有捕获，如图4所示．我们得到的三个状态快照与Kaiser等人的结论一致[6]．

图3 捕获率P随顶角θ大小的变化

被捕获的活性粒子与障碍物内部时刻发生相互碰撞，为详细了解这一情况，统计了体系中在障碍物截断范围0.5σ内的所有活性粒子对障碍物的有效作用力F，以水平向左为正方向，如图5．随着顶角θ增加，作用力F先增加后减小．同样，当顶角θ*= 80°时作用力F达到最大值，意味着障碍物对活性粒子的捕获达到了当前情况下的上限．此时，粒子因彼此的对齐相互作用活性粒子被障碍物捕获，并诱导形成团簇，团簇充当捕获活性粒子的核，直到障碍物不能再捕获粒子达到饱和为止．

图5 活性粒子对障碍物有效作用力F与顶角θ的关系

2.2 活性粒子密度对活性粒子行为的影响

除了研究障碍物顶角对其捕获率的影响外，我们还探究了障碍物在不同活性粒子密度ρ的情况下其捕获率的变化，图6为障碍物的捕获率P和有效作用力F随着体系密度ρ变化的关系图．从图6可以看出，有效作用力F随着密度改变先增加后减小，在临界密度ρ*= 0.05附近F达到了最大值，此时障碍物对活性粒子的捕获达到饱和状态，再增加密度将增加未被捕获的自由粒子，并且这些自由的活性粒子会与最外层不稳定的被捕粒子发生相互碰撞，导致被捕粒子获得速度逃离障碍物的捕获，如图7所示．

图6 捕获率P和有效作用力F与粒子密度的关系（θ = 90°，Sin = 48.75σ2）

图7 自由粒子和被捕获粒子间的碰撞示意图

除此之外，多余的活性粒子会与障碍物外部发生相互作用，障碍物外部受到的作用力（方向向右）会削弱其内部受到的有效作用力F，所以密度超过临界值后有效作用力会减小．与此同时，捕获率P随密度增大而减小，而在ρ*= 0.05时捕获率曲线斜率发生了突变，当ρ < ρ*时，活性粒子总数N和被捕粒子数n随着体系粒子数密度增大而增大，但并非所有增加的活性粒子都会被捕获．当密度达到临界密度ρ*= 0.05时，障碍物对活性粒子的捕获达到了饱和状态．当ρ > ρ*时，随着体系粒子数密度增大，活性粒子总数N增大而被捕粒子数n基本保持不变，从而导致捕获率随密度ρ的增大而直接下降．

为了更直观地表现出密度ρ、顶角θ和捕获率P三者之间的关系，我们绘制了它们的三维关系图，如图8所示．从图8可以看出，随着顶角增加捕获率先增加后减小．基于我们的研究数据可以得出，密度在0.02至0.08的范围内，V形障碍物的最佳捕获角在80°至110°的范围内，并且密度越低，捕获率越高．

图8 粒子密度ρ、V形障碍物顶角θ和捕获率P的三维相图

2.3 不同形状障碍物对活性粒子行为的影响

考虑了三种不同形状的障碍物，分别为半圆弧形（Semi-arc）障碍物、未封闭的矩形（Unclosedrectangle）障碍物和V形（V-shaped）障碍物，它们的内面积分别为半圆（Sin= 0.5πL2，这里的L为半圆弧形障碍物对应的半径）、矩形（Sin=a×b，a和b分别为矩形障碍物的长和宽）和三角形（Sin= 1/2(L2×sinθ)，L为V形障碍物对应的边长）．在内面积Sin= 75σ2时，每个障碍物的捕获率P与密度ρ之间的关系如图9所示．从图9可以看出，对于V形和矩形障碍物，其捕获率P随密度ρ的增加而降低．相较于V形障碍物，矩形障碍物的捕获率更高，原因是矩形障碍物内部有两个顶角，可以更有效地捕获活性粒子，因此它可以比V形障碍物（ρ*= 0.06）更容易达到饱和状态（ρ*= 0.05）．

图9 三个不同形状障碍物的捕获率P与密度ρ之间的关系图

图10给出了三种不同形状的障碍物在不同密度下的快照．从图10可以看出，矩形障碍物和V形障碍物在密度分别等于0.05和0.06时被捕获的活性粒子填满．随着密度进一步增加，被捕活性颗粒数量不再变化，自由活性颗粒占体系总活性粒子比例增加，从而降低了障碍物的捕获率．对于半圆弧形障碍物，其捕获率随密度ρ的增加发生小幅度波动，活性粒子可以从其开口进入内部，但是半圆弧形障碍物内部不存在顶角，粒子无法在其内部形成核从而诱导其他活性粒子形成团簇．进入半圆弧形障碍物内部的活性粒子由于具有速度与障碍物内壁发生碰撞并附着在壁上，直到受到其他活性粒子的相互作用后才离开[8]．

图10 三种不同形状障碍物的捕捉状态（Sin = 75σ2）

本文通过二维的布朗动力学模拟研究了具有不同形状的障碍物对活性粒子的捕获情况．对于V形障碍物，存在最佳顶角θ*和最佳活性粒子密度ρ*，使障碍物的捕获率最大化．根据活性粒子密度ρ、障碍物顶角θ及其捕获率P构建的三维关系图显示，当粒子密度在0.02到0.08之间时，V形障碍物的最佳捕获角度处于80°和110°范围内．对于半圆弧形障碍物，其捕获率随密度的增加发生小幅度波动，这表明它无法捕获活性粒子，因为它没有顶角，无法集聚活性粒子．对于矩形障碍物，其捕获率大于V形障碍物的捕获率．比较三种不同形状的障碍物可以发现，顶角的存在可以聚集活性粒子，并且拥有两个顶角的障碍物更容易聚集．

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