探究声音可视化的克拉尼板的改进

胡 静，周甜甜，李心悦，李子豪，毛紫怡，何晚晴，陈沁霞，张 慧，杨金虎

(杭州师范大学 物理学院，浙江 杭州 311121)

传统的克拉尼装置是由金属板、频率发生器与振荡器组成，金属板受振荡器激励形成振动，并以波动的形式传播。波动在金属板边界反射，形成的反射波与前进波相叠加形成细砂形成的稳定的驻波。此时在板上铺上均匀的细砂，可以观察到稳定的图案，克拉尼图案是驻波的可视化[1-2]。

传统的克拉尼实验是将一定频率的波形成可视化的驻波图案，但在实验中，只使用了特定的频率，在课堂教学中互动性明显不足。本实验以克拉尼图案的产生原理为基础，使用喇叭代替振荡器，利用智能手机中的phyphox软件控制声音的频率，从而简化实验装置。实验过程中探索了声音频率、铝板规格等方面对克拉尼图案形状的影响，提高了实验的互动性。

在理想的情况下，均质二维方形平板可以忽略重力和厚度，只有其中心处被固定。以该方形平面所在面建立xoy平面，固定中心为原点，垂直平面方向为z轴，建立空间直角坐标系。在该坐标系下，自由波动方程可写为：

(1)

设波动函数Z具有分离变量的形式解：

Z(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)。将函数代入波动方程并化简易得：

(2)

该方程在任意条件下成立，方程左右两边皆为常数。

T(t)=Acosωt+Bsinωt

(3)

其中A和B为与初始条件相关的常数。

原波动方程等式左侧通过分离变量，引入分离常数：

(4)

类似的，有

X(x)=Ccoskxx+Dsinkxx

(6)

Y(y)=Ecoskyy+Fsinkyy

(7)

其中C,D,E,F是由边界条件决定的常数[3,4]。

本文讨论的是二维平面上的驻波，根据制作的实际情况，喇叭位于平板中心，此处为波节，二维方形平板自由振动的边缘处也可视为波节。满足边界条件，确定函数X,Y之后,总能找到若干x与y使得函数X或Y值为零，在这些位置振动幅度始终为零。这些位置是二维振动平面的波节位置，是细砂出现的区域。

2.1 探究声音频率对图案形成的影响

实验仪器整体图见图1。

图1 实验仪器整体图

本文使用了规格为30cm×30 cm×0.05 cm的正方形铝板进行实验。将一个额定功率为4 W的亮盆全频小喇叭置于正方形铝板底面的中心，保证板的水平和稳定，并将橙色细砂均匀撒在铝板表面。按下电源开关后打开蓝牙，音箱发出语音提示,LED灯快闪；
打开移动设备(手机、电脑)的蓝牙功能，搜索配对，连接成功后，利用Phyphox中音频发生器的功能，设置不同频率，观察正方形铝板上细砂形成的图案。

板上的细砂会聚集成线，将板分为若干个区域，改变频率，用摄像设备记录了从440～950 Hz之间共9个频率所对应的克拉尼图案，部分图案如图2。

图2 克拉尼图案

2.2 探究声音频率对图案形成的影响(二)

在实验中发现，大功率的喇叭能够使细砂更快地形成稳定的图案，使用频响范围90～20 000 Hz，额定功率20 W的喇叭,输出功率在20～60 W的蓝牙电路板。不改变铝板规格，将喇叭用泡沫胶固定在铝板中心位置，保证板的水平和稳定，使用泡沫板为仪器制作底座，用来固定喇叭的位置并收集实验过程中的细砂，同时减少喇叭与桌面之间的振动。

将直流稳压电源调到12 V，接通电源后，使用Phyphox中的音频发生器设置任意频率，观察铝板上的细砂在对应频率下形成的克拉尼图案，记录频率在700～1 650 Hz间共11种频率所对应的克拉尼图案，部分图案如图3。

图3 实验图像

2.3 探究铝板对称性对图案的影响

使用边长为15 cm、厚度0.05 cm的正六边形铝板和半径为17 cm、厚度0.05 cm的圆板进行实验。探索细砂在不同形状铝板上形成的克拉尼图案形状的差别，实验中发现铝板的对称性越高，形成图案的对称性越好。

用六边形铝板代替正方形铝板来进行实验，如图4所示。

图4 700 Hz频率对应的图案

用圆形铝板代替正方形铝板来进行实验，实验结果如图5所示。

图5 边长17 cm、厚0.05 cm圆形铝板

2.4 实验装置的互动性

本文用钢琴APP作为音频发生器，钢琴上的不同琴键对应不同的频率，按下琴键时铝板上会形成不同的克拉尼图案。本文记录了一些较为显著的图案及其所对应的琴键的频率，如表1所示。

表1 克拉尼图案及其所对应的琴键的频率

某些钢琴曲片段如《叮当猫》、《菊花台》等也能使铝板上的细砂形成较为明显的克拉尼图案，增强了装置的互动性和趣味性。

2.5 实验结果分析

由于边界条件不同，在同一声音频率下，不同规格的铝板上细砂形成的图案不相同(本实验以正方形铝板、圆形铝板、正六边形铝板作对比)，如图6、图7所示。

图6 矩形薄板的图案

图7 其他形状薄板的图案

图案的形状和喇叭功率没有关系，本实验是使用细砂来显示图案的，细砂的移动需要一定的能量。如果喇叭的功率不高，板的振动幅度太小，细砂没有足够的动能移到波节处，形成的稳定的图案就需要更多时间，在实验中发现图案的边界不够清晰。大功率的喇叭能够使铝板上的细砂更快地形成稳定而清晰的图案，如图8所示。

图8 4 W喇叭和20 W喇叭在800 Hz声音频率下对应的克拉尼图案

用外界振源在一定频率下于一点激发一个固体薄板，当达到某些频率时，板上的细砂会聚集成线，将板分为若干个区域，形成特定的图案即克拉尼图案。本文使改进后的实验装置能够展现400～2 000 Hz之间清晰而稳定的图案。实验发现，克拉尼图案与铝板的规格、声音频率、喇叭功率有关，智能手机中Phyphox软件设置的声音频率越高，所形成的图案越复杂。在弹奏钢琴曲片段时板上的细砂能够逐渐形成有规律的图案，提高课堂教学的互动性和趣味性。

改进克拉尼实验，既具有理论研究的意义，又具有实际应用价值。本文制作出的克拉尼实验仪器成本低、操作简易，便于在教学活动中推广。将该实验仪器应用于物理课堂教学中或科普馆，可以使学生对于波有更直观的了解，激发学生对物理知识的学习热情。

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