质点与刚体相对运动的几何直解法

李志强，李 龙，耿 亮，饶邦政

(1. 广西易城蓝图科技有限公司，530002，南宁；
2. 中国建筑股份有限公司，100044，北京；
3. 中建工程产业技术研究院有限公司，101300，北京)

土木建筑、车辆机械等工程领域的许多技术问题，在一定条件下可以用运动学的原理和方法加以解决[1-2]。以往，运动学的求解方法(不妨称之为“原方法”)多为“先拆解，后合成”，即无论对于质点还是刚体，先将其运动拆解为多种分运动，逐个分析清楚各项分运动的模式和规律后，再进行合成求解；
常用的方法或技巧有速度与加速度的合成定理、基点法、速度瞬心、速度投影定理等；
原方法相对熟悉和习惯，但有时存在一定的不方便或不足之处，譬如较为抽象、不够直观、适用面窄等。

调研发现[3-8]，有学者做过有别于原方法的相关研究，此类方法结合工程中的曲柄摇杆机构、凸轮、连杆机构等机械要素，其解法和结果可运用于相关工程领域；
然而，此类方法在标量方程组物理量方向的表达，以及几何图形分解的规律等基本方面仍没有涉及到。

本文在前人研究的基础上，提出一种以标量计算为主的简化求解思路，不妨称之为“直解法”，即首先直观地表达运动学问题中的几何图形，列出几何关系方程后，按要求令等式两侧对时间求一阶或二阶导数，最终代入已知的初始或边界条件后求解方程组。

1.1 方法介绍

直解法的思路是直接处理模型的几何关系。位移、速度、角速度、加速度、角加速度等都是矢量，但在此法中仅求解其大小，它们的方向还需要根据求解结果的正负和具体问题条件进行判断。首先将问题背景剥离，抽象成简单的几何图形，列出图中几何关系表达式，这是对问题所给图形的最直观表达，是零阶等式。式中所含的长度、角度都是关于时间的函数。令零阶等式等号两侧同时对时间求导数，得到一阶等式。式中长度关于时间的导数就是速度，角度关于时间的导数就是角速度；
速度与角速度也是关于时间的函数。令一阶等式等号两侧同时对时间求导数，得到二阶等式。式中速度关于时间的导数就是加速度，角速度关于时间的导数就是角加速度。联立诸式，代入已知的初始条件，以及简单易察的隐含条件(如某条边是固定不动的，则其速度为0，某点匀速运动则其加速度为0，等等)求解未知变量。需要指出的是，此处介绍的直解法是不考虑物理量方向在内的，其方向需要在求出标量解后，根据解的正负并结合具体情境单独判断；
高阶矢量方程组的求解本文不作介绍。

以图 1为例对所述的方程组做简单说明。

图1 直解法例图

列出图形中的几何关系等式，从C点向AB边引垂线，用AC边和BC边的三角函数表达AB边长度：

AB=ACcosα+BCcosβ

(1)

令此式等号两侧对时间求导。需要注意的是此处均为隐函数求导：

(2)

再令此式等号两侧对时间求导，同样是隐函数求导：

(3)

再对另一个方向列式，用2个自然边的三角函数表达垂线：

ACsinα=BCsinβ

(4)

令此式等号两侧对时间隐函数求导：

(5)

再令此式等号两侧对时间隐函数求导：

(6)

联立诸式得到方程组，该方程组就是直解法的基础，结合具体问题代入提示的所有条件，可得其中的任意变量的值，再根据值的正负判断矢量方向。需要指出的是，一个几何图形可以有很多组表达式，如何列式应紧扣问题背景和已知条件，达到最便捷解答的目的。列式时，应尽量多地将几何图形中不变化的边列入，比如杆件、滚轮半径等不随时间变化的恒定值，如此，令其对时间求导数后得0可以消去，大大简化运算。通常，零阶方程组中一个等式表达的是几何图形中真实存在的一边，它与它的一阶、二阶导数往往与某待求速度或加速度相关；
另一个等式表达的是过某一顶点垂直于该边的辅助边(类似于三角形的“高”)，它与它的一阶、二阶导数往往与某待求角速度或角加速度相关。

此后若问题中还有更复杂、更高阶的要求，如急动度(也称“加加速度”或“力变率”)或角急动度等，则在二阶等式的基础上再对时间求导数得到三阶等式即可。

1.2 直解法与原方法的对比

直解法与原方法各有优缺。原方法的优势在于求解过程中可以使用一些有用的规律和技巧，以便有效提升求解效率，而其缺点同样在于求解依赖于这些规律和技巧，一旦不具备使用条件或条件隐含很深不易察觉，则求解难度大幅提升；
此外，运动学的拆解与合成充满抽象感，当问题要素较多、背景较为复杂时，对研究对象运动模式和规律的理解和把控就变得困难。总之，原方法的适用面较为狭窄。直解法的优势在于非常直观，因而称之为“直解法”；
此外，此法适用面较宽广，而且可解更高阶问题，缺点在于计算复杂，要求求解者对于微分学和三角函数相关知识的掌握高度熟练。

2种方法都是对运动学本质的表达，并行不悖、相辅相成，区别在于观察角度和描述方法不同。求解时对于2种方法的选取需要充分观察问题所给条件。譬如，求速度和角速度时采用原方法或直解法均可，求加速度和角加速度时宜采用原方法，求更高阶问题推荐采用直解法。

以下对2个算例进行计算分析，同时采用2种方法，并将它们的计算过程和结论进行对比。

2.1 算例1

椭圆规尺AB以等速u沿水平导槽向右运动，尺AB长l。试求B端沿铅直导槽运动的速度和尺AB的角速度(见图 2)。

图2 算例1示意图

2.1.1 解法1(原方法：基点法) AB做平面运动，其上A点速度大小、方向已知，可取为基点；
故B点速度vB可由下式确定：

vB=vA+vBA=u+uBA

(7)

需要注意的是，式(7)是矢量式。式中只有vB和vBA2个未知量，可作出速度平行四边形如图 2所示，可得B点速度大小：

vB=ucotφ

(8)

方向向下。

AB的角速度：

(9)

方向逆时针。

2.1.2 解法2(原方法：瞬心法) 在此瞬时A点和B点的运动方向已知，即A点水平向右，B点垂直向下。按照速度瞬心的规律，AB作为平面转动中的刚体，一定存在某一点瞬时速度为零而AB上各点都绕这个点转动。作垂直于u的垂线、垂直于vB的垂线交于C点，C点就是刚体AB此刻的瞬心，如图3所示。

图3 算例1解法2示意图

因为角速度相同，而v=ωr，绕C各点速度大小与点到瞬心距离r成正比，因而有：

(10)

vB=ucotφ

(11)

方向向下。

2.1.3 解法3(原方法：速度投影定理法) 在此瞬时A点和B点的运动方向已知，即A点水平向右，B点垂直向下。按照速度投影定理，平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等，那么令A点速度和B点速度都投影到AB上，有：

ucosφ=vBsinφ

(12)

vB=ucotφ

(13)

方向向下。

2.1.4 解法4(直解法) 在此瞬时A点和B点的运动路径已知，即A点水平，B点垂直。如图 2所示，A点速度反映在AO的变化上，B点速度反映在BO变化上：

AB=l=OAcosφ+OBsinφ

(14)

令等号两侧对时间求导数，得到：

(15)

其中，OB·cosφ=OA·sinφ，故此消去，求解得到：

(16)

因此从大小上来说vB=u·cotφ，趋势上是使OB变小，故方向垂直向下。此外，还可以列出一个方程，用2条边来表达垂线OE，即：

OAsinφ=OBcosφ

(17)

令等号两侧对时间求导数：

(18)

整理得到：

(19)

显然OA·cosφ+OB·sinφ就是AB边，长度为l。联立(16)和(19)得：

(20)

因此从大小上来说ω=u/(l·sinφ)，趋势上是使φ变小，故方向为逆时针。

2.1.5 评价 在算例1中，就一道非常基础的问题，从不同的侧面去观察图形都可以找到突破口，原方法可以用3种技巧给出答案，其中的瞬心法比较有助于理解刚体的转动；
而直解法则是顾名思义直接列出几何关系求解，一气呵成，对于刚体运动全过程中的任意时刻都有相当的解释力，并且计算工作量也不大。

2.2 算例2

图4 算例2示意图

2.2.1 解法1(原方法) 机构具有一个自由度，杆AB及轮B均做平面运动，关键在于分析B点的速度与加速度。

1)速度求解。杆AB做平面运动，vA=rω0，方向垂直于OA，vB沿水平方向，如图5所示。

图5 算例2解法1示意图(a)

应用速度投影定理，得：

vBcos30°=vAcos15°

(21)

vB=1.115rω0

(22)

轮B做无滑动的滚动，接触点处vE=0，E为轮B的瞬心，于是有：

(23)

(24)

ωB方向为逆时针，vD方向垂直于ED连线。

对于杆AB，将vA，vB向与AB垂直的方向投影，有：

vBsin30°=vBA-vAsin15°

(25)

vBA=vBsin30°+vAsin15°=0.816rω0

(26)

由此可得杆AB的角速度ωAB为：

(27)

方向为顺时针。

2)加速度求解。首先，采用基点法分析B点的加速度，如图 6、图7所示。

图6 算例2解法1示意图(b)

图7 算例2解法1示意图(c)

对于杆AB，已知aA=rω02，以A为基点，B为动点，则有：

(28)

需要注意的是，此等式为矢量式。式中：

(29)

aBAτ大小未知，方向与AB垂直。将式(28)向AB投影，则有：

(30)

(31)

对于轮B，因为做纯滚动，其角加速度可由定义αB=dωB/dt求得，即：

(32)

方向为顺时针。轮上B点的加速度已知，以B点为基点，得：

(33)

(34)

2.2.2 解法2(直解法) 过A做AP垂直于OB交于P点，如图8所示。

根据图8中的几何关系列零阶方程组如下：

OB=OAcosφ+ABcosα=rcosφ+lcosα

(35)

图8 算例2解法2示意图

OAsinφ=ABsinα，即

rsinφ=lsinα

(36)

令零阶方程组等号两侧同时对时间求导可得一阶方程组：

(37)

(38)

因机构两臂均为刚体，因此它们的长度任何时候都不会变化，因此一阶方程组可简化为：

(39)

(40)

(41)

这是AB的转动角速度，其大小为0.577ω0，趋势是使∠ABO增大，因而方向是逆时针。再将结果代入式(39)可得：

(42)

这是B点的速度，其大小为1.115rω0，趋势是使OB变短，因此方向向右。轮B做无滑动的滚动，接触点处vE=0，E为轮B的瞬心；
代入R=0.5r，得到ωB并合成vD如下：

(43)

(44)

由纯滚动性质和已求得的B点速度方向可知，ωB方向顺时针，vD斜向右上45°。令一阶方程组等号两侧同时再对时间求导得到二阶方程组：

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

方向为顺时针。纯滚动不考虑科里奥利加速度，加速度为切向加速度与法向加速度的矢量叠加。

(50)

(51)

因解答过程较为复杂，不是本文的重点，此处不赘述。

最后检查结算过程及其所有结果，通过量纲进行简单的核算：速度的量纲都为LT-1，加速度的量纲都为LT-2，角速度的量纲都为T-1，角加速度的量纲都为T-2，核算通过。

2.2.3 评价 在算例2中，使用原方法对机构的速度和加速度的分析变得复杂了许多，对于高阶物理参量的方向确定也有所不便，还有赖于对图形进一步观察，在具体求解过程中还需要用到多种技巧才行；
而直解法，则显示出相当程度的优势。当然，需要指出的是，直解法的二阶方程组的运算量显著提升，但这恰是计算机的长处，相信不难克服。

1)本文针对质点与刚体的相对运动提出了一种新的解法，即直解法，论证了该法是成立且合理的，并具有直观性强、适用面广、能够处理高阶运动学问题、便于计算机程序大规模高速度辅助运算等优点。

2)本文对比2种方法后认为原方法计算量小但是抽象，直解法计算量大但是直接；
通过2个算例对2种解法进行了较为详细的说明，并通过解答过程分析了2种解法的适用场合：一阶的运动学问题可用2种方法，二阶问题宜用原方法，三阶及以上的问题宜用直解法。需要说明的是判断二阶及以上运动学问题中的物理量的方向，需要结合运动学知识和具体情境进行判断，不能简单依靠任意一种方法所给出的解答直接给出。

3)理论上运动学问题中的几何关系越复杂越突显直解法的优势；
为使用直解法解题，尤其是考虑矢量在内的计算量庞大的问题，可以运用计算机编程辅助计算。直解法的发展将有利于提升运动学分析的效率和准确度，在土木工程、机械工程等领域均可广泛应用。

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