以学定评,以评促学

白凌晓 张银德

“乘法分配律”是人教版数学四年级教材《运算定律》单元的难点，学生往往难以脱离具体情境抽象出乘法分配律的模型，难以根据算式特点灵活运用乘法分配律进行简便计算。如何基于“乘法分配律”的内容，设计促进学生学习、提升学生数学核心素养的评价工具呢？

一、梳理教材内容，把握单元评价目标

笔者结合课程标准，梳理了与“乘法分配律”前后衔接的人教版小学数学教材中的内容，以把握单元目标、分析评价重点。

二年级上册《表内乘法（一）》单元第58～59页部分习题“4×3＋4；
4×4－4；
2×3－3；
5×5＋5；
4×5－4；
5×3－5”，引导学生初步感知乘法分配律。三年级上册《多位数乘一位数》单元《口算乘法》的例2“口算12×3”，引导学生将“表外乘法”拆分成两个表内乘法计算，感知乘法分配律的逆向形式；
《笔算三位数乘一位数》引导学生体会将三位数拆分后计算的便捷性，向学生渗透乘法分配律。三年级上册《长方形和正方形》单元内容，引导学生在探究长方形、正方形周长计算方法的过程中感知乘法分配律的实质。三年级下册《面积》单元《长方形、正方形面积的计算》，引导学生在求面积的过程中感受乘法分配律的几何意义。四年级上册《三位数乘两位数》单元《笔算三位数乘两位数》，引导学生巩固“拆分”的计算方法，熟悉乘法分配律的结构；
例4和例5利用生活情境中的数量关系向学生渗透乘法分配律。四年级下册《运算定律》单元例7，引导学生从植树问题中归纳乘法分配律，用字母表达式表示乘法分配律，并运用乘法分配律进行简便计算、解决实际问题。五年级上册《小数乘法》单元《小数乘整数》例题“3.5×3”，引导学生在小数的计算中运用乘法分配律，发展数感；
《简易方程》单元例5“3x＋4x=（3＋4）x=7x”，引导学生用乘法分配律化简含有字母的式子。六年级上册《分数乘法》单元例7“（[56]＋[14]）×12”，引导学生感悟乘法分配律在整数、小数、分数运算中都适用。

由以上分析可知，“乘法分配律”正式出现在四年级下册教材中，但相关知识点在教材中的分布是螺旋式上升的：二、三年级教材为学生提供了理解乘法内涵的情境，给出了反映乘法分配律的例子，引导学生熟悉乘法分配律的结构；
四年级教材引导学生建构乘法分配律的形式，并加以应用；
五、六年级教材将乘法分配律推广到小数、分数运算中。

基于以上分析，笔者归纳、提炼了《运算定律》单元评价目标：能迁移乘法意义的学习经验，并借助多元表征理解乘法的多种模型；
能基于乘法的意义建构乘法分配律的模型；
能将乘法分配律的模型进行形式化表达；
能沟通其他知识，解决新问题。

二、寻找学生数据，拟定评价层级

除了教材所呈现的核心内容，来自学生的数据也是聚焦评价重点的重要依据。为了解和判断学生处理相关数学问题的思维过程和策略，笔者对三、四年级学生进行了访谈。访谈针对如下问题进行。

问题一：计算2＋2＋2＋2＋2＋2＋2，并说明这样计算的理由。

該问题通过考查学生将同数连加的算式改写成乘法算式再计算的思维过程，判断学生是否具备学习乘法分配律的基础。结果显示：60%的学生能将原式写成“2×7”或“7×2”且计算结果正确，但是他们只是依照计算规则列式解答；
只有不到10%的学生能真正理解乘法的意义，将动手操作、口头表达、符号书写三种表征方式联系起来。

问题二：“一盒牛奶4元，一袋豆浆2元。乐乐家每天都要买一盒牛奶和一袋豆浆，一个星期买牛奶和豆浆要花多少钱？”小明用“4×7＋2×7”计算，小红用“（4＋2）×7”计算。他们的解法正确吗？说说你的理由。

该问题借助“单价、数量和总价”的问题情境，判断学生能否识别乘法分配律的基本结构。结果显示：13%的学生认为小明正确，理由是“要算一共多少钱，就要先算牛奶和豆浆各多少钱，再加在一起”，说明他们从形式上无法看出乘法分配律的结构；
47%的学生认为两种方法都正确，理由是“通过计算验证，两种算法的结果一样”，说明他们能从计算的角度解释算式的含义，但是无法抽象到算理层面；
10%的学生认为两种方法都正确，并能结合情境解释算式的含义，说明他们能基于算理进行判断；
另有3%的学生也认为两种方法都正确，理由是“一个是分别乘7，另一个是合在一起乘7”，说明他们已经理解了乘法分配律的概念。

通过访谈，笔者发现学生对乘法模型的理解比较肤浅，对算式、操作、表达三者没有建立充分的联系，没有对运算过程形成本质理解。基于此，笔者拟定了“乘法分配律”学习成效的评价层级：水平0——能列出乘法算式，但不能多元化地表征算式的意义；
水平1——能借助乘法的不同模型理解乘法的本质；
水平2——能基于乘法的意义建构乘法分配律的模型；
水平3——能将乘法分配律的模型进行形式化表达；
水平4——能实现迁移，解决变式问题。

三、细化评价任务，促进核心素养形成

评价有三种类型：为评定学习水平而进行的“学习的评价”，为推进学习而进行的“学习性评价”，为让学生学会评价而进行的“学习式评价”。学习的评价侧重“公平”，为评定学业水平、分析学业成就提供参考；
学习性评价侧重“具体”，为教师提供把握学生学习情况的证据；
学习式评价侧重“自省”，关注学生评价能力的培养。基于不同的评价类型，笔者将本单元的评价任务细化如下。

以0～4划分水平层次，可以比较准确地反映学生的学习情况，以便教师调整教学策略和进行个性化指导。

仅仅通过计算结果判断学生是否掌握了乘法分配律是不客观的。以计算题“39×8+6×39-39×4”为例，计算错误的学生中，按原有运算顺序计算的学生，没有理解“8个39加6个39再减4个39”的意义，只是机械操作，处在水平0；
把原式写成“（8＋6）×39-39×4”后，因为不够简便而计算错误的学生，局限于乘法分配律的标准结构，不能识别并运用“ab+ac-ad=a（b+c-d）”的变式结构，其理解水平比水平2高，但未达到水平3。

基于单元评价标准的过程性评价，既能诊断学生显性的学业成果，又能呈现学生隐性的思维路径及困惑，有助于落实以学定评和以评促学。

（作者单位：白凌晓，襄阳市教育科学研究院；
张银德，枣阳市王城镇中心学校）

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