数学定理在高中物理力学解题中的有效应用研究

刘长强

摘   要：物理和数学是两门具有紧密关联的学科，当解答高中物理力学习题时，借助数学定理能够获取更多灵感、更好的解题效果。为此，高中物理教师需要致力于探索高中物理力学的基本解题技巧，从而为数学定理的介入创造条件，在此之后，则需要分别在正弦定理、余弦定理、韦达定理等具体方面进行探索，突出它们在学生解答物理习题的意识和能力发展方面的作用，最后则延伸出“等效替代”这一数学思想的物理学应用的可能性。

关键词：高中物理;数学定理;力学;解题;有效应用

引言

在高中阶段，物理学科学习难度相对较大，然而其重要性又使教师与学生不能对其稍加疏忽。因为牵涉到数学和化学等其他学科，物理具有知识覆盖面全、综合性强、灵活性突出等特点，化解教育与学习困难，便不能只从知识传授的角度来应对，更为主要的是需要教师为学生提供思考的方向、方法，特别是需要让学生在解题时，能够得到思维的借鉴。例如仅从力学知识角度来看，不同力学题目常常会有不同设问角度、解题思路，均有它们的独到之处，其中的一些题目将重点考查学生在逻辑推理、理解判断方面的能力，对于学生而言实际上要求是很高的[ 1 ]。为了让学生顺利解题，教师可以考虑以学生思维发展为突破口，让学生以一些数学定理为借鉴，不断提升自身能力和解题效率，最终应用所掌握知识灵活应对多样化的问题 [ 2 ]。

1  高中物理力学题处理技巧

想使数学定理在高中物理力学解题中的应用更加有效，教师首先需要明确高中物理力学题处理技巧，只有这样才能找到数学定理的介入方向、介入深度，让学生更顺利地接纳新思维与新渠道。

1.1  掌握基本概念

学生如果想真正学好物理，顺利解决物理问题，首先一定要在教师的指导下掌握基本物理概念，若是不能做到这一点，便无法理清解题思维，往往会在处理实际问题时发生各种意料之外的問题。为此，教师要做好几点，其一是：使学生清晰界定物理概念，特别是明确物理学科中一些字面相似的概念，了解它们的本质差异。例如当使学生注意到：虽然速度与加速度两个概念只相差一个字，但在含义上却极为不同，其中速度所代表的是物体位置变化快慢，加速度所代表的是物体运动状态变化快慢，即使在速度为零的情况下，加速度却未必是零。其二是：教师需要让学生顺利理解不同物理量间的联系，使学生在它们的互相关联与互相推导中，有效培养自我发散性思维，这同样是接纳数学定理与应用数学定理的重要准备。

1.2  做好审题工作

在物理的力学问题中，通常会给出一个或者多个相关物体，部分问题会全面展示物理变化的全过程，而部分问题则仅展示部分物理过程。如果学生想通过数学定理寻求解决办法，便要做好认真审题的准备工作。审题时应当留意以下问题，其一：要对物体受力情况做比较系统的分析，包括明确单位是否一致等基本问题。其二：要突出抽象思维的作用，借此了解问题所指向的研究对象，使之向相应的物理图景进行转化，从而方便数学定理的应用，并借此发现力学运动规律。而且特别要注意到，当对问题加以分析时，把物理过程转化成物体状态是必要的，对于平衡状态、非平衡状态的审视，将成为一项重点。其三：当分析问题时，需要在示意图内将已知条件标记出来，再参考问题内的文字，使基本受力情况、不同时间运动状态情况都体现出来，这会让数学定理在已知条件和解题目标之间产生更理想的媒介服务作用。

1.3  明确解题思路

高中物理力学问题，重点针对物质运动规律、物质运动结构加以研究，当面对此类问题时，教师需要加强宏观的信息分析指导工作，使学生了解物体运动全过程，并将此运动过程合理分解为几个可拆解的、能够具体研究的部分，借助相应物理模型的构建策略明确解题思路，这对于引入数学定理来降低题目解题难度无疑是有效的做法。举例来讲：光滑水平面上有一个静止木块，子弹以水平速度击中木块，且从木块穿出。在这一过程之中，以下哪种说法是正确的。A、子弹所减少的机械能同木块所增加的机械能是完全相同的;B、子弹与木块二者共同构成了系统的机械能，它们所失去的热量等于系统所形成的热量;C、子弹所减少动能与木块增加动能、木块增加内能之和相等;D、子弹所减少机械能和木块增加动能、子弹与木块增加内能之和相等。本题侧重于检验学生对于受滑动摩擦力时物体直线运动规律的把握程度。学生如果能够以模型为依托，对题意加以有效分析，在此基础上明确思路，那么当有数学定理引入必要时，便可以自然实现。

1.4  分解知识要点

在高中物理力学学习期间，学生应当集中掌握几项定律、定理，如牛顿运动三定律、动能定理和动量定理等。而当面对具体的问题时，则通常需要从物体受力情况开始分析，以定律、定理为基础，对知识要点加以分解，以便让数学定理的介入更加有效，在其帮助下突破各个难点。通常来讲，若面对加速度或求瞬间关系之类问题时，学生可从牛顿运动定律方面寻求解决思路;若面对变力做功、位移等问题时，以功和能的定律加以解决是正确思路;若摆在面前的是冲量、时间有关问题时，则突出动量守恒定律、动量定理的作用，可更好地吸纳数学定理的帮助。总的说来，分解知识要点，使之与定律、定理相协调是必要的，而在此之后的解题过程之中，则要求学生对已知条件加以认真分析，在明确物理过程后，建立一定条件下的物理与数学相协调情境，从而使适用的规律产生解题导向作用，展示出最恰当的解题方法。

2  数学定理在高中物理力学解题中的有效应用例析

上面所述的掌握基本概念、做好审题工作、明确解题思路、分解知识要点几项物理问题的自身解决技巧，可以成为学生解题时的基本抓手，而借助这些技巧，数学定理也将有更好的介入渠道，使之在学生解题期间产生有效引导作用。在此支持之下，笔者在下面尝试例析数学定理在高中物理力学解题中的有效应用策略。

2.1  三边定理

三边定理即：在三角形之中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。这一数学定理在力学问题中有较广的应用渠道。例如图1所示：某一质点受到两个力的共同作用，其大小是：F1=10 N，F2=18 N，则其合力可能为多少？A、4 N;B、12 N;C、20 N;D、30 N。本题学生便完全可以在用心分析后，从力的三角形法则出发，明确F1、F2这两个分力同合力F能够共同构成一个三角形。按照三角形的三边定理，可以知道：|F1-F2|<F<F1+F2，这样的认知具有非常强的力学分析实用性。

2..2  正弦定理

正弦定理所描述的是三角形中边长和角度间的关系，在将其应用到高中物理问题解答过程中时，可以把边长与“力”相关联，利用正弦定理发现物理参数间的内在规律，从而更为顺利地得到物理问题的答案。例如：如图2所示，一轻绳的一端固定于墙面之上，另一端则连接重力为mg的铁球，使铁球置于光滑斜面之上，在这一结构中，绳子同竖直墙壁之间的夹角为β角，斜面同竖直墙壁之间的夹角为θ角，那么斜面对球产生的弹力、绳子对球产生的拉力，它们的大小分别是 、 。如果斜面对球产生的弹力，绳子对球产生的拉力分别是FN，F，则对于小球的受力分析，完全可以在做好审题工作、明确解题思路之后，通过引入正弦定理，突破解题障碍，顺利产生：=，=，由诱导公式化简得FN=，F=。

2.3  余弦定理

数学定理中的余弦定理，经常用于求解非特殊三角形边长或者内角的大小，能够在物理学科中的距离、角度等问题处理过程中发挥出应有的作用。为让学生能够有效掌握余弦定理处理物理问题的技巧，教师既要和学生共同回顾余弦定理内容、相关表达方式，用于加深学生记忆，避免使用时出现舛错，又要择优选择经典问题，突出余弦定理的功能，保证学生得以在亲身尝试时感受到余弦定理介入于物理问题解决物理过程的妙处。例如下面的问题：如图3所示，卫星发射时应利用遥测了解卫星飞行参数，地球赤道有一个监测站A，处在卫星B、地球球心O的连线之外的某一点，当发射卫星B进行遥测任务时，观察到监测站与地球球心连线同卫星与地球球心连线呈θ角，遥测信号传播速度按照光速c计算，如果近地卫星所运行的轨道是圆形，卫星公转周期是T、地球半径是R、地球表面重力加速度是g，那么遥测信号从发送到被监测接受所需要的时间是多长？设卫星质量是m，地球质量是M，万有引力常数是G，轨道半径是r也就是OB长度，通过万有引力定律能够知道：G=mr，又由于mg=G，如果想得到遥感信号需要用到的传播时间，便需要得到AB长度s，则t=，由于OA=R，求AB长度，从余弦定理可知AB=，上述各式联立可得：

t=

2.4  韦达定理

在解决力学问题时应用韦达定理，所利用的是定理描述根和二次函数系数间的关系，即一些物理习题有必要构建一元二次方程来解决，这时依靠韦达定理可以较快发现各参数间的关联，从而为顺利求解问题铺平道路。韦达定理指如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）兩实数根分别是x1和x2，那么x1+x2=-，x1x2=。依靠数学学科中的这个定理处理物理力学习题时，既需要做好物体受力分析，使所学物理知识可以构建一元二次方程，又需要依前述解习题的基本处理技巧，于分析问题后，依定理表示各参数间的相等关系，最终得到未知的参数。例如：竖直向上抛出的物体，自抛出至上升至某点所需要的时间是t1，再需要时间t2又落回到该点，在不计空气阻力的情况下，上升到这一点的高度h是多少（重力加速度为g）？解析本题时，教师可要求学生基于竖直上抛运动规律，写出关于时间t的一元二次方程：-gt2+v0t-h=0，由于t1和t1+t2满足本方程，也就是这个方程的两个根，从韦达定理可得：t1（t1+t2）=，也就是h=g（t1+t2）t1。

2.5  曲率半径公式

在发射地球同步卫星时，并不是一步到位，往往分为多过程完成，如图4所示，先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，轨道Ⅰ为半径为r1的圆周轨道，卫星在其运行速率为vBⅠ。经过B点的时候，瞬间点火加速，速率变为vBⅡ，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ，B点为椭圆轨道Ⅱ的近地点。当卫星在轨道Ⅱ上克服地球引力做功运动至远地点A点时，速率减为vAⅡ，再瞬间点火，速率变为vAⅢ，使之进入半径为r2同步圆周轨道Ⅲ。

笔者发现很多教铺书上解释以上卫星变轨需要加速的原因如下：卫星在轨道Ⅰ的B点加速，所需向心力变大，万有引力不能满足向心力，即<m，卫星将做离心运动从而进入椭圆轨道Ⅱ;卫星在轨道Ⅱ的A点再加速，所需向心力变大，万有引力又和向心力相等，即=m，卫星从椭圆轨道Ⅱ进入同步圆周轨道Ⅲ。这种说法其实是不太正确的，因为A、B两点分别是椭圆轨道Ⅱ的远地点和近地点，是卫星在椭圆轨道上运行速度的最小值和最大值，A、B两点是没有切向加速度的，所以在椭圆轨道Ⅱ上的A、B两点地球对卫星的万有引力实际上是等于的向心力的！只是向心力公式中的半径要用椭圆在A、B两点的曲率半径ρ计算。

下面我们来计算椭圆在远（近）地点的曲率半径大小：一个焦点在x轴，长、短半轴分别为a、b的椭圆参数方程为x（θ）=acosθ

y（θ）=bsinθ，利用数学定理中的曲率半径公式ρ=，将x"（θ）=-acosθ   x""（θ）=-acosθ

y"（θ）=bsinθ    y""（θ）=-bsinθ带入，得=，椭圆在远、近地点的曲率半径参数θ取0或π，得ρ=。由图5中几何关系有：长半轴a=，半焦距c=，短半轴b===，∴ ρ==，r1<ρ<r2。

卫星（质量为m）在轨道Ⅰ的B点动力学方程为：=m，因为是瞬间点火加速，所以卫星的位置保持不变，卫星受地球（质量为M）的万有引力不变，卫星在轨道Ⅱ的B点动力学方程为：=m，由以上两式得=，∵r1<ρ，∴vBⅠ<vBⅡ。同理，卫星在轨道Ⅱ的A点动力学方程为：=m，卫星在轨道Ⅲ的A点动力学方程为：=m，由以上两式得=，∵r2>ρ ∴vAⅢ>vAⅡ。由r1、r2、ρ的数值关系可以确定两次点火需要增加的速度！

例：我国即将展开深空探测，实现火星环绕探测和软着陆巡视探测，已知太阳的质量为M，地球、火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径分别为R1和R2，速率分别为v1和v2，地球绕太阳的周期为T。当质量为m的探测器被发射到以地球轨道上的A点为近日点，火星轨道上的B点为远日点的轨道上围绕太阳运行时（如图6），只考虑太阳对探测器的作用，则（  A  ）

A.探测器在A点加速度的值等于

B.探测器在B点的加速度为

C.探測器在B点的动能为mv22

D.探测器沿椭圆轨道从A飞行到B的时间为（）T

此题的A选项考察以上的变轨知识，由此可得出答案。

2.6  等效替代

等效替代并非直接的数学定理，但却是一种比较实用的数学方法，该方法同样可以在力学问题处理中发挥出较强的引导效果，因此在此一并论述。一般认为：高中生借助等效替代来处理力学知识，能够在深刻领会力学概念、定律和计算方式本质之后，使其中的模型应用、变量控制、实验推理等的实用性得以突显。也就是说，若是可以把等效替代应用于力学知识中，学生便能够利用合力和分力的等效替代分析，为接下来的作用力有关问题顺利解决奠定基础，这将有益于避免发生不必要的解题错误。在物理问题中已经给出了明确的恒力时，学生可以利用把恒力合并为一个力的计算，再融入等效替代思想，使原本复杂的题目向容易理解的方向转化，再依靠受力模型构建的策略，突出作用力方程的解答思路。例如：在某一平面上有一个质点，这个质点分别受到六个不同的作用力，这些作用力方向为：东北某方向7 N、正东方向4 N、东南某方向1.3 N、正南方向3 N、西南某方向6.2 N、西北某方向6 N，另外，质点质量是2 kg，当处于这些力的作用之下时，此质点是平衡的，如果同时撤销正南方向3 N和正东方向4 N的力，质点则会由于受力不均的原因而变静止为运动，那么其在运动时的加速度是多少？在对问题进行分析后，学生可以看到：本题质点受力情况比较复杂，题目中只表明南方和东方两力相互垂直的情况，其余四个力方向尚并不确定。若学生想顺利得出质点加速度，则一定要明确这四个没有撤销的合力。教师可引导学生将数学思想中的等效替代理念引入到解题过程中来，假设四个未撤销合力是F1，已撤销合力是F2，即只有F1与F2相互平衡，质点受力平衡才能实现，顺此思路探索下去，从公式F=ma出发，可以计算得到处于运动状态时的质点加速度。除此之外高中力学中重心、质心和平均速度的概念，合运动和分运动的关系，超失重环境中等效重力场的应用，非惯性系中惯性力的提出等等，都利用了等效替代。总之，在高中物理力学知识中，存在相当多既深奥又复杂的知识点，学生从这种并非定理却与定理作用类似的等效替代思想出发，对其加以解决时，要依前述解题技巧，对问题本质特性、替代物加以分析，那么得到正确结论就是水到渠成。

3  结论

高中物理力学知识学习难度较大，这一点是普遍的共识，其原因既在于这方面知识的纵向深入，也在于它的覆盖面之广。将数学定理引入到物理力学知识教学过程中来，可以使难度较大问题得到有效缓解[ 3 ];而为了优化定理应用效果，教师首先需要做好力学的基本解题技巧分析，以便为数学定理的介入创造条件，在此之后，则需要分别在展开对几种典型数学定理的引入技巧分析。经研究证实：这种做法可行性较强，同时效果也较好，值得进行更进一步的研究。

参考文献：

[1]  曹伟.高中物理力学解题技巧分析[J].数理化解题研究，2019（15）：53-54.

[2] 李玉文.数学知识在高中物理解题中运用的若干思考[J].科技资讯，2020，18（21）：140-142.

[3] 姜欣.数学思想方法在高中物理教学中的应用[J]].新课程研究，2020（32）：112-113.

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