解三角形“圆”来如此精彩

张国川 任晓红

文[1]讨论了一道解三角形问题，略去试题背景从不同视角给出在约束条件下最值问题的处理策略，笔者也曾在文[2]中探讨过此问题，可谓殊途同归达异曲同工之妙．今看此文[1]有些思考叙述成文与大家分享，不当之处批评指正．

试题呈现在AABC中，A=π/3，BC=3，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是____．

试题分析通常两个三角形满足条件AAS，ASA，SAS，SSS才会全等，换言之只要三角形给出三个条件AAS， ASA， SAS， SSS中的一种，这个三角形必定唯一，包括三条边和三个角六个要素都是确定的，其中AAS，ASA通常用正弦定理解决，SAS，SSS则用余弦定理解决，不论是正弦定理还是余弦定理都是三个方程，这样就能解决另外三个元素的值，即通常所说的“知三求三”，若同一个三角形中条件少于三个，三角形则为动态三角形，试题往往变成求边或角的最值问题，本文所呈现的试题便是此类型，

视角1（向量+三角代换法）本题是解三角形中较为熟知的基本图形一一爪子型三角形，给出条件为底边的分点情形，容易联想到线段的定比分点，采用向量法处理．

关于此类型问题的多种解答，有兴趣的读者可以参见文[2]，在视角1中，本文着重介绍“和差术”在这种题型中的应用．约束条件m2+n2一mn=9的困难之处在于存在混合项mn，使得条件难以用一个量去表示另外一个量，于是“化双变量为单变量”的消元思想在此处变得困难，联想到平方差公式的结构，

视角2 （平面几何法）解三角形的试题难在所给条件往往分散在不同的三角形之中，要求学生学会通过条件的化归，实现多个条件回归到同一个三角形，考查解三角形问题往往都不是以单一知识呈现的，经常与面积、角平分线、中线，三角形“四心”交汇，甚至呈现具有平面几何或竞赛背景的试题，因此涉及面非常广，

试题以考查学生综合运用各板块知识解决问题的能力，如向量法、解析法、三角代换法和各种几何定理，如中线定理、角平分定理、斯特瓦爾特定理、托勒密定理等，解题中渗透方程思想、数形结合思想和分类讨论思想等，注重考查数学运算、逻辑推理和直观想象等数学核心素养，

解后反思本文选择四种处理动态三角形最值问题的典型办法，方法侧重从题目中挖掘隐含条件找到突破口，实现问题解决的目的．文[1]则侧重从试题背景角度探寻约束条件下最值问题的八种解法，反观上述解法不论是通过几何直观还是轨迹法求方程，均可得出点A的轨迹是圆．问题转化成求解与圆相关的最值；
圆可看作是动点运动形成的轨迹，是动点按照有序的规律组合形成的图形，其上每一点都有参数坐标，即为圆的参数方程，因此视角1的三角代换可认为是参数方程的另外形式，本题中涉及到“隐形圆”的试题背景，挖掘试题的本质特征，“圆”来如此绝妙．

参考文献

[1]李洪双．不同的视角同样的精彩一一一道高三模拟试题的解法研究[J]．福建中学数学，2020 （10）：39-41

[2]张国川．例谈不同背景下的同类二次约束条件的最值问题[J]．福建中学数学，2012 （04）：36-38

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