“椭圆及其标准方程”（第1课时）教学设计

蒋振

摘  要：在学生学习用坐标法研究直线与圆的定义与性质之后，用坐标法研究的又一种几何图形是椭圆.“椭圆及其标准方程”一课引导学生通过实验探究、定义生成、几何定义代数化、代数方程的推导及代数量的几何意义分析等过程完成教学任务，提升了学生的逻辑推理和数学抽象等素养，培养了学生坚韧不拔的意志品质，在数学运算教学中渗透“立德树人”的基本要求.

关键词：椭圆；
标准方程；
数学抽象；
核心素养

一、教学内容解析

本节课是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”）第三章“圆锥曲线的方程”第一节“椭圆”中“椭圆及其标准方程”（第1课时）的内容. 在第二章“直线和圆的方程”中，学生学习了确定直线与圆的几何特征：定点、定方向，以及定点、定长，并且在平面直角坐标系中用坐标法给出了直线与圆的方程. 本节课中，我们将直线与圆的这种研究方法拓展到椭圆，确定椭圆的基本几何量，并在平面直角坐标系中推导椭圆的标准方程. 本课时内容是学生继续学习椭圆几何性质的基础. 椭圆是圆锥曲线中的代表性图形，它与双曲线、抛物线在概念与性质上具有基本同构特点. 椭圆相关内容的学习为后续研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础. 因此，本节课具有承前启后的作用.

二、教学目标设置

1. 教学目标

（1）了解椭圆的几何特征，理解椭圆的几何定义.

（2）能够建立恰当的平面直角坐标系，会求椭圆的标准方程.

（3）理解椭圆的标准方程的代数特征及参数a，b，c的几何意义.

2. 教学重点

类比圆的学习过程，通过画图总结椭圆的几何特征，并准确给出椭圆的定义；
利用坐标法建立合理的平面直角坐标系推导椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想.

3. 教学难点

理解并能准确刻画椭圆的几何特征，椭圆的标准方程的正确推导（含有两个根式的和的等式如何化简）.

三、学生学情分析

四、教学策略分析

1. 教学策略

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学教学要通过设置恰当的生活情境与数学学习情境，将其作为学生学习任务创設及知识应用的有效载体，从而提升学生对数学学科基本原理、概念、技能和思维方法的理解. 本节课依据课时内容特点及学生思维发展特点设置了一系列的生活情境与数学学习情境，促使学生顺利完成“生活中的椭圆辨析—椭圆几何特征的识别—椭圆几何定义的生成—椭圆几何定义代数化—椭圆代数方程的推导—椭圆方程中代数量的几何意义—例题讲解及技能提升”的数学学习过程，并掌握相关知识.

2. 教学方法

本节课采取问题引导的方式组织课堂教学，问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线进行自主探究，突出教学重点，突破教学难点.

3. 教学资源

平面截圆锥成曲线模型、装水的圆柱形玻璃水杯、白色卡纸、细绳、几何画板软件、多媒体课件.

4. 教学流程

五、教学过程设计

1. 创设情境，引入课题

（1）了解圆锥曲线.

师生活动：教师展示平面截圆锥得椭圆、双曲线、抛物线的实物模型；
介绍圆锥曲线的简单历史及其在生产生活中的应用；
介绍本章的学习任务，即用坐标法研究圆锥曲线. 学生观察实物模型，了解圆锥曲线的历史背景和现实作用，明确本章的学习任务.

【设计意图】重现古希腊阿波罗尼奥斯发现圆锥曲线的过程，用数学文化滋养学生，发展学生的数学思维.

（2）观察实验：将一个圆形玻璃杯稍微倾斜，杯中的水面是椭圆形吗？鸡蛋的外形是椭圆吗？

师生活动：教师手拿一个盛有半杯水的圆柱形透明水杯让学生观察水杯平放及稍微倾斜放置时水面的形状，利用PPT投影出鸡蛋图形让学生识别鸡蛋的外形是否为椭圆. 学生观察、思考并给出自己的回答.

【设计意图】通过观察与辨析给出椭圆的朴素定义，让学生对椭圆形成感性认识.

（3）师生共同回忆用坐标法研究圆的方程的过程，重温用坐标法研究几何图形定义与性质的方法和研究过程.

【设计意图】再现圆的研究过程，为本节课类比圆的研究方法研究椭圆作好方法和心理上的铺垫，帮助学生克服学习新知识前的畏难心理.

2. 定义椭圆，实践探究

3. 合理建系，推导方程

（1）合理建立平面直角坐标系，为推导椭圆的标准方程作准备.

问题4：通过刚才的探究学习，我们已经了解了椭圆的几何特征和几何意义，应该如何利用椭圆的这些几何特征建立椭圆的方程呢？

经过教师的引导，学生提出利用坐标法建立椭圆的方程的方法. 随后，教师让学生尝试在自己所画的椭圆中建立平面直角坐标系. 学生完成建立平面直角坐标系的实践操作并展示成果.

师生活动：师生共同观察并分析学生展示的不同的建立平面直角坐标系的方法，辨析并选择以点[F1，F2]所在的直线为[x]轴，以线段[F1F2]的中点为坐标原点建立平面直角坐标系的方案来展开后续的探究活动.

【设计意图】类比圆的方程的最简形式和坐标系的关系，根据椭圆的对称性选择最佳建系方法推导椭圆的方程. 通过引导学生自主建系并进行对比、识别，提升学生的数学建模素养，同时让学生感受数学的对称美.

（2）几何意义代数化.

【设计意图】将抽象的椭圆定义用简洁的符号语言表达出来，使学生学会文字语言、图形语言、符号语言相互转化的方法，提升学生对三种语言的转化能力，培养学生的数学抽象素养.

（3）化简代数式

【设计意图】在推导方程的过程中，利用两种常用的平方法，引导学生在化简时要注意分析式子的结构特征，选择对应的化简方法，提高运算能力，发展学生的数学运算素养，培养学生坚韧不拔的意志品质，在数学运算教学中渗透“立德树人”的基本要求. 同时，学生消化不同的化简方法，并对比、分析各种化简方法的优劣，积累两个根式和的等式化简的经验，为推导双曲线方程作好方法储备.

（4）椭圆方程中代数量的几何意义.

（5）辨析方程与椭圆图形的关系.

（6）类比推理，完善方程形式.

4. 例题探究，深化理解

5. 小结提升，明晰重点

（1）椭圆的定义，焦点、焦距的概念.

（2）椭圆的两种标准方程形式.

参考文献：

［1］汪晓勤，沈中宇. 数学史与高中数学教学：理论、实践与案例［M］. 上海：华东师范大学出版社，2020.

［2］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：
华东师范大学出版社，2021.

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