函数知识要点【完整版】

下面是小编为大家整理的函数知识要点【完整版】,供大家参考。

　函数知识要点 1、 函数的概念； 2、 函数的三要素:

　 、

　 、

　 ； 3、 函数的表示法:

　 、

　 、

　 ； 4、 确定函数定义域的方法: （1）、若 ( ) f x 是整式，则定义域为 R ； （2）、若 ( ) f x 是分式，则其定义域是使分母不为 0 的实数的集合； （3）、若 ( ) f x 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子大于等于 0 的实数的集合； （4）、零次幂的底数不能为零； （5）、对数函数要注意真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1； （6）、函数 ( ) tan( ) f x x  的定义域为

　 ； （7）、若是由几部分组成的，则其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； 5、求函数值域的方法: 6 6 、随堂检验

　 例 1、求下列函数的定义域

　 （1）、23( ) lg(3 1)1xf x xx  

　（2）、202( ) (3 2 )lg(2 1)x xf x xx  

　例 2、求下列函数的值域

　（1）、23 2, [1,3]; y x x x    

　（2）、22 1 1( )2 1 2x xy xx  

　 二、 函数的基本性质

　1 1 、 单调性

　（1）、定义:一般地，设函数 ( ) y f x  的定义域为 A ，区间 I A  .如果对于区间 I 内的任意两个值1 2 1 2, , x x x x  当 时，都有

　 ，那么就说函数 ( ) y f x  在区间 I 上是增函数 ， 称 区 间 I 为 ( ) y f x  的

　 . 如 果 对 于 区 间 I 内 的 任 意 两 个 值1 2 1 2, , x x x x  当 时，都有

　 ，那么就说函数 ( ) y f x  在区间 I 上是减函数，称区间I 为 ( ) y f x  的

　 . 注意: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）、简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内:增函数  ) (x f 增函数 ) (x g 是增函数； 减函数  ) (x f 减函数 ) (x g 是减函数； 增函数  ) (x f 减函数 ) (x g 是增函数； 减函数  ) (x f 增函数 ) (x g 是减函数。

　（3）、复合函数的单调性: 同增异减

　2 2 、 奇偶 性

　（1）、定义:一般地，设函数 ( ) y f x  的定义域为 A ，如果对于任意的 x A  ，都有

　，则称 ( ) f x 为偶函数；如果对于任意的 x A  ，都有

　，则称 ( ) f x 为奇函数. 注意: ○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数具有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性  函数的定义域关于

　对称. （2）、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

　○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定 ( ) f x 与 (- ) f x 的关系； ○3 作出相应结论 （3）、简单性质：

　①图象的对称性质：一个函数是奇函数  函数的图象

　 关于对称；一个函数是偶函数  函数的图象关于

　 对称； ②若奇函数的定义域包含 0，则 (0) f 

　； ③设 ( ) f x ， ( ) g x 的定义域分别是1 2, D D ，那么在它们的公共定义域上：

　奇+奇=奇，奇  奇=偶，偶+偶=偶，偶  偶=偶，奇  偶=奇 3 3 、 周期性

　（1）、定义：设函数 ( ) y f x  的定义域为 A ，如果存在一个非零常数 T ，使得对于任意的x A  ，都有

　 ，则称 ( ) f x 为周期函数， T 为 ( ) y f x  的一个周期；若 ( ) f x 的周期中，存在一个最小的正数，则称它为 ( ) f x 的最小正周期. （2）、性质：若周期函数 ( ) f x 的周期为 T ，则 ( ) ( 0) f x b       是周期函数，且周期为| | T. 4 4 、 随堂检验

　 例 1、函数2( ) ln( 3 2) f x x x    的单调增区间为

　 . 例 2、已知2( ) ( 1) 3 f x b x cx b     是偶函数，且定义域为 ( 1,2 ) b b  ，则 , b c 的值为

　 .

　例 3 、 已 知 定 义 在 [ 2,2]  上 的 偶 函 数 ( ) f x 在 区 间 [0,2] 上 单 调 递 减 ， 若(1 ) ( ) f m f m   ，实数 m 的取值范围为

　 . 例 4、已知 ( ) f x 定义在 R 上的奇函数，当 0 x  时，2( ) 2 1 f x x x    ，则在 R 上 ( ) f x的解析式为

　 . 例 5、定义在 R 上的函数 ( ) f x 满足：2log (1 ), 0( )( 1) ( 2), 0x xf xf x f x x      ，那么 (2011) f的值为

　 . 三、指数函数

　1、幂的运算性质. （1）m na a 

　 ； （2）

　( )m na 

　 ； （3）

　( ) n ab 

　 . 2、指数函数的定义：一般地，函数

　 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是

　. 3、指数函数的图象和性质：

　) 1 0 (    a a a yx且 的图象和性质

　 1 a

　0 1 a  

　图 象

　性 质

　(1) 定义域：

　 （2）值域：

　（3）过定点（

　 ）

　0 1; 0 1 x y x y      时, 时,0

　0 1; 0 1 x y x y      时,0 时,

　（4）在 R 上是

　 函数 （4）在 R 上是

　函数 4 4 、随堂检验

　例 1、三个数：1 1 25 5 52 6 6( ) ,( ) ,( )5 5 5  ，从小到大依次为

　 .

　 例 2、已知5 12a ，函数 ( )xf x a  .若实数 m n 、 满足 ( ) ( ) f m f n  ，则 m n 、 的大小关系为

　 .

　 例 3、若函数 ( ) ( 0 1)xf x a a a    且 在 [1,2] 上的最大值比最小值大2a，则 a 

　.

　 例 4、若函数 ( ) (1 ) x f x a   在 R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是

　 .

　 例 5、221( )3x xf x   的值域为

　. 四、对数函数

　1、指数式与对数式的互化：xa N  

　. 2、对数的运算性质 （1）、 log ( )aMN 

　； log aMN

　 ；

　logna M

　. ( ) n R 

　（2）、对数换底公式 log a N 

　. 说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）：

　① log log 1a bb a   ； ② log logmnaanb bm ； ③ log log logb a ba x x 

　（3）、几个常用的结论

　① log 1a

　;

　log a a 

　;

　② logna a 

　;

　log a Na 

　; 3、对数函数的定义：一般地，形如

　 的函数叫做对数函数，定义域是

　. 4、对数函数的图象和性质：

　log ( 0, 1)ay x a a    的图象和性质

　 1 a

　0 1 a  

　 图 象

　性 质 (1) 定义域：

　 （2）值域：

　（3）过定点（

　 ）

　0 1 , 0; 1 , 0 x y x y      时 时

　0 1 , 0; 1 , 0 x y x y      时 时

　（4）在 (0, )  上是

　 函数 （4）在 (0, )  上是

　函数 5 5 、随堂检验

　例 1、计算（1）、2(lg2) lg2 lg50 lg25  

　 （2）、5log 33 3 3322log 2 log log 8 59  

　例 2、已知18log 9 ,18 5ba   ，则36log 45

　（用 a、b 表示）

　 例 3、将23 0.50.3 ,log ,log 1.5  由从小到大排列的顺序是

　 .

　 例 4、已知 log (3 )ay ax   在 [0,2] 上是关于 x 的减函数，则 a 的取值范围是

　.

　 例 5、设 0, 1 a a   ，函数11xy a  的图象必过定点

　；函数 log ( 1) 1ay x   的图象必过定点

　. 五、幂函数

　1、幂函数概念：一般地，形如

　的函数称为幂函数，其中

　 是自变量,

　 是常数. 注意：幂函数与指数函数的区别． 2、幂函数的性质：

　（1）幂函数的图象都过点

　 ；（2）任何幂函数都不过

　 象限； （3）

　0    幂函数在 (0, )  上

　 ； 0    幂函数在 (0, )  上

　 ； （4）

　0    幂函数的图象过原点； 0    幂函数的图象不过原点； 六、函数与方程

　1、零点：一般地，使得函数 ( ) 0 f x  的实数 x 叫做函数 ( ) y f x  的零点． 2、函数的零点与对应方程的关系：

　方程 ( ) 0 f x  有实数根  函数 ( ) y f x  的图象与 x 轴有交点  函数 ( ) y f x  有零点． 3、零点存在定理：若函数 ( ) f x 的图象在 [ , ] a b 上不间断，且 ( ) ( ) 0 f a f b   ，则函数 ( ) f x在 ( , ) a b 上有零点. 4 4 、随堂检验

　例 1、已知幂函数22 2 3( 1)m my m m x    ，当 (0, ) x  时为减函数，解析式为

　.

　 例 2、已知幂函数22 3 ()m my x m Z   为偶函数，当 (0, ) x  时为减函数,则解析式为

　,

　 例 3、已知2( ) 2 2 3 f x ax x a     在区间 [ 1,1]  上有零点，则 a 的取值范围是

　.

　 例 4、 (0,1) a ，方程 logxaa x  的解的个数为

　.