中考数学试题中数学思想的分析及教学建议

沈惠娟

［摘 要］文章选取近十年南宁市的中考数学试题，针对试题主要体现的数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想以及化归思想四种数学思想的考查情况进行分析，并提出相应的教学建议。

［关键词］中考数学试题；
数学思想；
分析；
教学建议

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）05-0029-07

一、问题提出

近年来的南宁市中考数学试题千变万化，注重考查学生解决问题的综合能力以及对数学思想方法的应用能力。中考数学试题涵盖了初中数学所涉及的思想方法，其中主要数学思想有用字母表示数的思想、数形结合思想、方程与函数思想、图形运动思想、分类讨论思想、化归思想、整体代换思想等，常用的数学方法有待定系数法、配方法等。本文选取近十年（2013—2022年）南宁市的中考数学试题，针对试题体现的数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、化归思想四种数学思想的考查情况进行分析，并提出相应的教学建议，为初中数学教学提供参考。

二、近十年南宁市中考数学试题数学思想的考查情况

针对近十年南宁市中考数学试题主要体现的数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、化归思想四种数学思想的考查情况进行分析与整理，具体如表1至表7所示。

（一）近十年南宁市中考数学试题中体现四种数学思想的题量

近十年南宁市中考数学试题中体现四种数学思想的题量如表1所示。

数学思想之间是相互关联的，一道题可能会体现多种数学思想，为了方便研究，表1中列出的是能重点突出四种数学思想的题目。从表1中可以看出，近十年南宁市中考数学试题对以上四种数学思想的考查还是比较均衡的，且趋向于在大题中综合考查多种数学思想。例如，2020年第26题考查数形结合思想、分类讨论思想、化归思想，2021年第24题考查数形结合思想、函数与方程思想，2022年第25题综合考查了数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想。具体到每一种数学思想，各年份中考数学试题考查的程度有所不同。如2014年、2015年、2021年并没有考查分类讨论思想，但数形结合思想、函数与方程思想、化归思想近十年都有考查。

由表1的相关数据可知，近十年南宁市中考数学试题对数形结合思想、函数与方程思想的考查题量相对较多，考查这两种数学思想方法的题目平均每年都有2道以上。近十年南宁市中考数学试题在考查数形结合思想时主要考查学生对数与形的理解、数形转换及应用；
对于函数与方程思想则是从数学实际应用的角度来进行考查，通常从实际生活中抽象出问题背景及材料，考查学生能否将其转化为相应的数学问题来解决，体现出数学不能脱离现实，不能脱离生活实际。

（二）近十年南宁市中考数学试题中体现四种数学思想的题型

近十年南宁市中考数学试题中体现四种数学思想的题型如表2所示。

从表2中可以看出，数形结合思想、函数与方程思想、化归思想在各种题型中均有体现，分类讨论思想仅在解答题中出现。

如2019年第17题：《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉。在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图1所示，已知：锯口深为1寸，锯道[AB=1]尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为          寸。

解：如图2所示，设[⊙O]的半径为[r]，在[Rt△ADO]中，[AD=5]，[OD=r-1]，[OA=r]，则有[r2=52+（r-1）2]， 解得[r=13]，所以[⊙O]的直径为26寸。

此题考查学生是否会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型。

（三）近十年南宁市中考数学试题中数学思想方法考查的主要知识点

近十年南宁市中考数学试题中四种数学思想考查的主要知识点如表3所示。

从表3中可以看出，考查数形结合思想的题目涉及的知识点很多，如找规律、函数的综合应用、圆的性质等，且无论是解答题还是选择题、填空题，都可以考查学生对数形结合思想的理解与运用。考查函数与方程思想的题目涉及的知识点主要有一元一次方程、一元二次方程、一次函数、二次函数等，试题通常考查学生能否从实际生活背景中抽象出函数模型，然后通过解方程（组）来获得问题的答案。考查分类讨论思想的题目涉及的知识点也是比较多的，且既可以通过图形的位置变化来考查（如根据直角三角形的直角顶点坐标位置不同进行分类等），也可以通过图形的形状变化来考查，还可以通过应用函数讨论实际问题的最优解来考查。主要考查学生是否有分类讨论的意识，能否具体情况具体分析。而考查化归思想的题且则注重考查学生在遇到不熟悉的问题时能否将其转化为熟悉的问题来求解。在近十年南宁市中考数学试题中，有两年的选择题或填空题考查了求不规则图形的面积。从熟悉的图形面积转化到不熟悉的图形面积，这是考查化归思想的试题的一个突出考点。解答题通过求函数解析式和进行相关证明，考查学生是否能利用化归思想来解题，具体来说是能否运用待定系数法、韦达定理等方法解题。事实上，大部分南宁市中考数学试题都隐含化归思想，学会对问题进行转化是学生正确解答试题的关键。这反映出了将几种数学思想相互渗透，对知识点进行交叉考查甚至学科交叉作为问题的背景材料是中考数学试题的一大特点及趋势。

如2021年第24题（部分节选）：如图3是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为[x]轴，过跳台终点[A]作水平线的垂线为[y]轴，建立平面直角坐标系。图中的抛物线[C1：y=-112x2+76x+1]近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点[O]正上方4米处的点[A]滑出，滑出后沿一段抛物线[C2：y=-18x2+bx+c]运动。（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线[C2]的函数解析式（不要求写出自变量[x]的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，運动员与小山坡的竖直距离为1米？

本题第（1）问考查的是求二次函数的解析式，考生通过观察函数图象，结合题目所给条件得到已知点的坐标，再利用待定系数法，将点的坐标代入便可求出参数；
第（2）问考查的是“已知函数的值，求自变量的取值”问题，考生只需将问题化归为“一元二次方程求解”问题即可解决。此题是将实际问题与二次函数模型相结合的典型考题，也是数形结合思想、化归思想、函数与方程思想的综合应用。数形结合思想通常也用在与函数有关的问题上，与函数相关概念相结合进行考查。中考数学试题的背景常设计为学生日常生活场景，引导学生用数学知识解决实际问题。要求学生能用函数与方程的观点去看待问题，从而体现函数与方程思想的应用。从这道题中我们可知，数学思想是相互结合考查的，数学思想之间是密切联系的。

（四）近十年南宁市中考数学试题中数学思想的考查难度及试题数量

为了便于研究中考数学试题中数学思想的考查难度，本文采用统一的标准计算出每道相关试题的难度系數，并统计四种数学思想的各题型相应试题的数量（如表4至表7）。影响试题难度的因素可以大致分为知识点的个数、知识点的深度、题目题型、知识点在学科中的地位、学生对知识点的熟悉程度等。根据这几个因素的影响，计算出相应试题的难度。

由表4中可知，考查数形结合思想的试题总体难度“易”的很少，“较难”的最多。从题型来看，选择题从“易”到“难”均有体现，通常是以形助数、数形结合为主。而填空题难度多为“一般”，解答题总体难度偏大。中考数学中有关数形结合的填空压轴题、解答题通常会涉及图象上的动点、图形的折叠与翻转、求解最值、函数的综合应用等较为抽象的几何问题，解题运用的知识点较多，综合性强，不仅要求数形紧密结合，还要求考生能想象出图形的变化，有较强的想象、猜想、归纳、探索等能力。因此，与数形结合相关的填空压轴题、解答题难度会较大。

由表5可知，函数与方程思想的考查多集中在解答题中。相比之下，选择题与填空题多是考查学生能否根据题目找到等量关系式列出方程或方程组，题目中涉及的知识点多为有关圆的半径问题、求商品价格等，学生较熟悉，理解题意及解答难度相对不大。在解答题中，函数与方程思想的考查知识点有关于二元一次方程、不等式、二次函数等的实际问题，这些题目信息中的等量关系显而易见，因此这类题的难度属于“一般”。而一旦和二次函数的图象与性质、动点问题及证明猜想等联系在一起，此类解答题的难度就会增加。主要考查学生是否会用运动变化的观点看待问题并找出等量关系，有时条件比较隐蔽，因此解题难度较大。

由表6可知，考查分类讨论思想的试题难度多为“一般”与“较难”，考查的内容有根据图形位置进行分类讨论以及对解决实际问题中最优解的分类讨论等。知识点涉及分类计数、方程、图形、函数图象等。

如2020年第24题第（3）问：“在（2）的条件下，设购买总费用为[w]万元，问如何购买使得总费用[w]最少？请说明理由。”根据题意，要算出购买总费用[w]的值在何种情况下最少，考生依据所给的条件[10≤a≤45]，自然想到要分“当[10≤a<30]时”“当[30≤a≤35]时”“当[35

又如，2020年第26题第（3）问：“在[l2]上是否存在点[A]，使得[△ABC]是直角三角形？若存在，请求出此时点[A]的坐标和[△ABC]的面积；
若不存在，请说明理由。”此问需要分“当[∠CAB=90°]时”“当[∠ACB=90°]时”两种情况求出点[A]的坐标。

再如，2022年第25题第（3）问需要分为[a>0]和[a<0]两种情形进行讨论。最终解得：[a>53]或[a=54]或[a≤-1]。

由表7可知，考查化归思想的试题中难题较多，其次是较难题。体现化归思想的试题主要考查学生能否将题目条件灵活转化为自己已知或熟悉的。通常难度一般的题目主要还是侧重考查学生对知识点的记忆。

三、 对初中数学教学的建议

结合以上分析可知，中考数学试题不仅考查学生对数学基础知识的掌握与理解，还着重考查学生对数学本质的认识，即能否学会利用数学思想方法来解决问题。从中考数学试题考查的数学思想方法来看，初中数学教学要相应地让学生会应用几种常见的数学思想方法，使其成为学生解决问题的一把“利刃”。在此，笔者对初中数学教学提出一些建议。

（一）善于挖掘，让教材中隐含的数学思想方法闪现灵光

现行的初中数学教材主要体现的是数学知识及其应用，数学思想方法不像数学概念、定理一样外显，其在教材中的表现形式比较隐蔽，是沟通知识的一条暗线。这就需要教师深入研究教材，善于挖掘、提炼和掌握教材中隐含的数学思想方法，并在教学中不断渗透。教师应在各类数学知识点的教学中融入相应的数学思想方法，并注意研究具体的融入技巧，让学生从被动学习转为主动应用。

例如数形结合思想，从七年级的数轴、比较有理数的大小、平面直角坐标系，到八年级的勾股定理结论的论证、一次函数，再到九年级的二次函数、反比例函数、三角函数、解直角三角形，都蕴含着数与形的结合。从难度来说，是逐步加深的，一开始是点与数，逐渐深入到几何图形与公式定理的应用，到后来是函数图象与函数性质的转化，越来越体现数与形的密不可分。

在教学中，教师要逐渐让学生了解不同数学思想方法在教材知识体系中的体现。例如，在人教版数学教材七年级上册“绝对值”的教学中，为了帮助学生理解绝对值的概念，教师要充分利用数轴，引导学生有意识地形成“脑中有图，心中有数”的数形结合思想；
还要引导学生对数[a]可以取哪些值进行探究，让学生体会分类讨论思想的应用价值。

（二）循循善诱，提高学生对实际问题的理解及解决能力

中考数学试题通常不会单独考查某一种数学思想方法，而是从生活中抽象出某些问题作为背景材料来命题并对多种数学思想方法进行考查。这就要求教师在教学中不能只通过单纯的数学问题和大量机械重复的练习来引导学生训练，而是要循循善诱，指导学生在解决实际问题的过程中学会应用数学思想方法。初中生由于缺乏生活经验，对于有关生活实际的问题往往会感到陌生。这不利于学生解决实际问题，对此教师要提高学生对实际问题的理解及解决能力。

例如，人教版数学教材七年级的“销售中的盈亏”问题，学生解答这类问题会存在困难，一是对销售问题的基本量认识模糊；
二是不知道如何区别利润和利润率从而判断盈亏。这就需要教师拓展学生的经济知识，同时从数（表格）的角度引导学生整理数量关系，从形（线段图）的角度直观呈现销售问题基本量之间的关系，引导学生提炼出关系模型，找到销售问题中的等量关系。在这一过程中，教师以转化思想和模型思想为主线，教会学生化繁为简，分解难题，从而提高学生思维的灵活性和对实际问题的理解及解决能力。

（三）循序渐进，培养学生自觉应用数学思想方法的意识和能力

体现数学思想的内容是十分丰富的，数学方法也有难有易，而且不是孤立單一的，往往是若干种方法的综合。通过分析中考数学试题可知，一道中考数学试题常常会综合考查几种数学思想方法。数学思想方法的形成同样是一个循序渐进的过程，都是要经过长时间的、不同内容的学习才能形成的。任何学习者的思想方法的培养和提高都需要经历四个基本阶段，即初步领会阶段、逐步明朗阶段、自觉应用阶段和内化巩固阶段。由此，教师要培养学生自觉应用数学思想方法的意识和能力，就应遵循学生的认知规律，结合学生的学习特点，循序渐进地进行渗透和培养。在教学中，教师应通过反复训练、不断完善、归纳总结，让学生了解多种数学思想方法之间的关系，从而培养学生自觉应用数学思想方法的意识和能力。

例如，在七年级“有理数”“平面直角坐标系”的教学中，引导学生应用数形结合思想，可使问题变得更加直观，从而灵活解决问题。从某种角度来说数形结合可以实现从未知到已知的转化，可看作是化归思想的一种具体方法手段。又如，在八年级“等腰三角形”的教学中，可让学生灵活运用分类讨论思想解决与等腰三角形有关的问题，同时正确把握分类讨论思想要遵循的两个原则：分类要做到不重不漏；
每一次分类要按照统一标准进行。教师通过对例题和习题的变式训练，引导学生总结出利用分类讨论思想解决等腰三角形问题的方法：涉及边的问题，可以按底边和腰进行分类；
涉及角的问题，可以按顶角和底角进行分类；
涉及高的问题，可以按锐角三角形、直角三角形和钝角三角形进行分类。除了这三种常见的分类，在解决有关等腰三角形的实际问题时，还会遇到不同的分类方式。再如，九年级“实际问题与二次函数——利润最大化问题”的学习难点是将实际问题转化为二次函数问题，对有多个变量的实际问题建立函数模型。教学中，教师可让学生经历由特殊到一般、由简单到复杂的认识过程，在解题过程中以“建模”为主线，渗透转化思想、类比思想、数形结合思想及方程思想，引导学生从不同的角度思考并寻找建模的途径，提高其思维的灵活性及对实际问题的理解及解决能力。

（四）通过多元评价，促进学生数学思想方法形成

教师要摒弃单纯以考试成绩来评价学生的做法，要坚持以立德树人为指导思想，积极培养学生的数学核心素养。在教学中，教师应鼓励学生参与动手操作、观察分析、验证猜想、活用方法、发现结论的过程，并善于观察学生的思想动态和行为变化，发现学生在解题过程中的闪光点，及时给予鼓励性评价，通过循序渐进地指导和评价，让学生形成自觉运用数学思想方法的意识，能将概括出的数学思想方法转化为解题的方法、思路以及具体的过程，使学生真正领会数学思想方法的本质，建立起“数学思想方法系统”，并能在理解的基础上进行一题多解、多解归一，从而更深层次地理解数学知识，做到举一反三，学会融会贯通。

总之，在解题过程中，只有准确地抓住数学问题中隐含的数学思想方法，才能抓住求解问题的“根”，才能准确顺利地找到解题思路，有效解决问题。数学思想方法有很多种，初中数学教学中不可能一一渗透，而有很多数学思想方法教材并没有直接给出。对此，教师在日常教学中应积极挖掘、分析、提炼数学思想方法并将其渗透于教学的各个环节。

［   参   考   文   献   ］

［1］  杨启贤.数学思想方法解读［M］.郑州：河南大学出版社， 2012.

［2］  张雄，李得虎.数学方法论与解题研究［M］.2版.北京：高等教育出版社，2013.

［3］  王敬赓.中学数学教学课题研究［M］.北京：北京师范大学出版社，2014.

［4］  林雪.关于转化思想方法在高中数学解题中的应用探讨［J］.中国校外教育，2016（13）：71.

（责任编辑 黄春香）

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